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1、江西省多校联考2023-2024学年高二下学期6月摸底考试数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.2对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示：使用寿命（小时）100120150165185200210230个数832453523261912估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为( )A.165B.170C.175D.1853抛物线的准线方程为( )A.B.C.D.4如图，在矩形中，过边上的点，分别作的垂线，分
2、别交于，过边上点作的垂线，分别交，于，则集合中的元素个数为( )A.2B.4C.6D.85已知，集合，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的最小值为( )A.B.C.D.7设是定义在R上的奇函数，且，当时，则不等式的解集为( )A.B.C.D.8已知点，动点P满足，则取得最小值时，点P的坐标为( )A.B.C.D.二、多项选择题9围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子白子空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况
3、，下面对于数字的判断正确的是( )（参考数据：）A.的个位数是3B.的个位数是1C.是173位数D.是172位数10已知函数在内无极值点，且，则( )A.B.的最小正周期为C.若不等式在区间上有解，则D.将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称11如图，在棱长为4的正方体中，E为棱的中点，,，过点P,E,Q的平面截该正方体所得的截面为，则( )A.不存在,，使得平面B.当平面平面时，C.线段长的最小值为D.当时，三、填空题12已知，则_.13在三棱锥中，若该三棱锥的所有顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为_.14已知,分别为椭圆的上下焦点，直线l经过点且与E交于B,C两点，若l垂直平
4、分线段，则的周长为_.四、解答题15学生的安全是关乎千家万户的大事，对学生进行安全教育是学校教育的一个重要方面.临近暑假，某市教体局针对当前的实际情况，组织各学校进行安全教育，并进行了安全知识和意识的测试，满分100分，成绩不低于60分为合格，否则为不合格.为了解安全教育的成效，随机抽查了辖区内某校180名学生的测试成绩，将统计结果制作成如图所示的频率分布直方图.（1）若抽查的学生中，分数段，内的女生人数分别为6，24，48，12，完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为测试成绩与性别有关联？不合格合格合计男生女生合计（2）若对抽查学生的测试成绩进行量化转换，“合格”记5分，“不合格”记
5、0分.按比例分配的分层随机抽样的方法从“合格”与“不合格”的学生中随机选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.0052.7063.8417.87916已知函数.（1）若，当时，证明：；（2）若，讨论的单调性.17如图，在中，D,E分别为边,的中点，将沿折起到处，F为线段的中点.（1）求证：平面平面；（2）若,，求平面与平面的夹角的余弦值.18已知双曲线的左右顶点分别为A，B，右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，的离心率为e，在上.（1）求的方程；（2）过F的直线l交于C,D两点（C在x轴上方），直线，分别交y轴于
6、点P,Q，判断（O为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.19对任意正整数n，定义n的丰度指数，其中为n的所有正因数的和.（1）若，求数列的前n项和；（2）对互不相等的质数p，m，n，证明：，并求的值.参考答案1答案：D解析：因为，所以在复平面内对应的点为，因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解得.故选：D.2答案：C解析：因为为整数，所以该组数据的第60百分位数是将这组数据从小到大排列后第120个数据和第121个数据的平均数，由表知，第120个数据为165，第121个数据为185，所以第60百分位数为.故选：C.3答案：D解析：由得，故抛物线的准线方程
7、为.故选：D4答案：B解析：在上的投影向量仅有4种情况，分别是，由数量积的几何意义知也仅有4个不同的值，所以该集合中有4个元素.故选：B.5答案：C解析：若，则，或，所以，或.当时，不满足集合中元素的互异性，故；当时，故由，可得；反之，当时，显然也成立.故“”是“”的充要条件.故选：C.6答案：A解析：由，有，由正弦定理，得，则，有，所以，当且仅当时等号成立，即最小值为.故选：A.7答案：A解析：当时，令，则，所以在上单调递减，因为，所以，于是当时，即；当时，即.又为R上的奇函数，所以当时，当时，又，所以的解集为.故选：A.8答案：C解析：设，由，得，化简得，由，得，所以，故当且仅当P，A，C
8、三点共线，且点P在A，C之间时，取得最小值，此时线段的方程为，由并结合，解得故此时点P的坐标为.故选：C.9答案：AC解析：对于AB,由，个位数分别为3，9，7，1，3，9，7，以4为周期循环往复，因为余数为1，故的个位数与的个位数相同，即的个位数为3，故A正确，B错误；对于CD，因为，所以，因为，所以为173位数，故C正确，D错误.故选：AC.10答案：ACD解析：，由，得，所以的最小正周期，又在内无极值点，所以，所以，所以，经验证符合条件，所以，对于A，所以A正确，对于B，的最小正周期为，所以B错误；对于C，若，则，由在上有解，得在上有解，所以，解得，故C正确；对于D，将的图象向左平移个单
9、位长度，得的图象，令，则，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故D正确.故选：ACD.11答案：BCD解析：当时，P与D重合，Q与重合，易证平面，即存在,，使得平面，故A错误；若平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，设，因为E为的中点，所以P为的中点，所以，延长到，使得，同理可得，又，所以，又E为中点，所以，所以，所以，故B正确；由题意知，且，故（当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立，所以，故C正确；当时，易得为正六边形（如图六边形），其边长为，故的面积为.，所以，故D正确.故选：BCD.12答案：-448解析：由题意知为的展开式中项的系数，即展开式中第6项的系数，其为.故答案为：-448
10、.13答案：或解析：因为，所以点P在平面上的射影G为的外心，如下图，又,，所以的外接圆的半径，从而三棱锥的高为.设该三棱锥外接球的半径为R，则，即，解得，故球O的表面积为.故答案为：.14答案：解析：由题意知A为E的左顶点，设E的半焦距为c，则,，所以线段的中点为，直线的斜率为，所以l的斜率为，所以直线l的方程为，又过，所以，解得，所以.连接，因为l垂直平分线段，所以，所以的周长为.故答案为：.15答案：（1）列联表见解析，测试成绩与性别无关联（2）分布列见解析，12解析：（1）由频率分布直方图知，得分在，的人数分别为，由题意知“不合格”的人数为72，“合格”的人数为108，故列联表为：不合格
11、合格合计男生424890女生306090合计72108180零假设：测试成绩与性别无关联，根据列联表中的数据，计算得，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即测试成绩与性别无关联.（2）在“合格”中抽的人数为，“不合格”中抽的人数为，故X的取值为，则，故所求分布列为X05101520P所以.16答案：（1）证明见解析；（2）答案见解析解析：（1）当时，即证当时，令，则，令，则在区间上恒成立，所以，当且仅当时取等号，所以在区间上恒成立，当且仅当时取等号，所以在上单调递减，所以对，所以，即.（2），令，得或，当时，恒成立，所以在R上单调递增；当时，令，得，或，令，得
12、，所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当时，令，得，或，令，得，所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，综上所述，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当时，在R上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减.17答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1）证明：取的中点G，连接,，则，且，由题意知,，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，由题意知,，因为G,F分别为,的中点，所以,，因为，所以，因为平面,，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）设，则，所以，所以，因为在中，所以，所以，所以，两两垂直，故以D为原点，直线，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，所以
13、，.设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.18答案：（1）（2）是，解析：（1）因为的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为，所以，所以，又，即在上，所以，（2）由（1）得，设，由题意知l的斜率不为0，设l的方程为，代入的方程并整理，得，则，所以，且，.直线的方程为，令，得，故，直线的方程为，令，得，故，所以所以为定值，且定值为.19答案：（1）；（2）证明见解析，解析：（1）因为共有个正因数，它们是1，2，所以，即，所以，所以令，则；令，则，两式相减，得，所以，所以.（2）证明：因为p，m，n为质数，则的正因数有4个，它们是1，p，m，n的正因数均有2个，分别为1,m和1,n；的正因数有个，分别为1，p，m，n，.所以，因为，所以.
