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1、平行线中的开放性问题EACBD如右图所示，AB、CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A、C两点，点E是橡皮筋上的任意一点，拽动点E将橡皮筋拉紧后，请你探索A、C、AEC之间的关系，并说明理由。分析：本题是一个开放性的问题，因为原题当中并没有说明点E拽动后的位置，所以结合实际情况，可以将点E拽动后的位置分为四种情况。图1解：第一种情况（如图1），AECAC理由：经过点E做EFAB，因为ABCD，所以ABEFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以A1，C2（两直线平行，内错角相等）所以12AC即AECAC图2第二种情况（如图2），AECAC360理由：经过点E做EFAB，因为
2、ABCD，所以ABEFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以1A180，2C180（两直线平行，同旁内角互补）所以1A2C360即ACAEC360图3第三种情况（如图3），AECAC理由：经过点E做EFAB，因为ABCD，所以ABEFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以AAEF，C1（两直线平行，内错角相等）图4所以ACAEF1即AECAC第四种情况（如图4），AECCA理由：经过点E做EFAB，因为ABCD，所以ABEFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以C2180，AAEF180（两直线平行，同旁内角互补）所以（C2）（AAEF）1801800所以C2AAEF0
3、所以CAAEF2AEC即AECCA .舞动在两平行线间的折线图1有一些题目由于看起来太简单，往往很少进一步思考，其实若能从多个角度进行探索思考，可能会有许多发现，使我们对数学的学习更加深入.题目：如图1，已知ABEF. 试说明：BCF=B+F.解：过点C作CDAB. 因为ABEF，所以CDEF. 所以BCD=B，FCD=F（两直线平行，内错角相等）.所以BCDFCD =BF，即BCF=B+F.我们在做完之后，可对本题做进一步的反思和探究.1.从说明方法上探究图2图3解法1：如图2，延长BC交EF于D.因为ABEF，所以B=BDF. 在三角形CFD中，BDFFDCF180，又BCFDCF =18
4、0，所以BCF=B+F.解法2：如图3，过C点作DGAB分别交AB、EF于G、D. 因为ABEF，所以DGEF.因为BCF=（BCG+DCF）=（BCG）+（FCD），即BCF=B+F.图5图42.从点C的位置上探究在上述问题中，折线在AB、EF之间，如果改变点C的位置，点C不在AB、EF之间，而在AB、EF的外侧，如图4、图5所示，BCF的结果会是多少呢？ 解：如图4，过点C作CDAB.因为ABEF，CDEF，所以BCD=B，DCF=F. 所以BCFBCDDCFBF.如图5，过点C作CDAB.因为ABEF，CDEF，所以BCD=F，DCB=B. 所以BCFBCDDCBFB.图6变式训练：1.
5、如图6，1120，2100，则3 （） A20 B40 C50 D60图7图82.如图7，ABCD，BAC的平分线和ACD的平分线交于点E，则AEC的度数是3.如图8，直线与、分别相交于、两点，平分，过点作垂足为，若30，则_答案：1.A 2. 90 3. 60两条平行线与一组折线构造的角的一类探析DBCAFE例题：如图已知，.分别是、的角平分线，是两条角平分线的交点；求证：.分析：作辅助线，可以探究：与及之间的关系来，结合角的平分线的性质，可以探究出与之间的关系来：MNDBCAFE证明：过分别作的平行线，可证明下面的结论：,所以FNBACDE评注：两条平行线之间一组折线构造出的三个角，两条折
6、线构造的角等于两条折线分别与平行线构造的角的和；其实还可以得出结论：两平行线之间有一组折线：(为交点)，分别是、的角平分线，是两条角平分线的交点；则有结论：；一般地：如图所示：.一组折线交于点如果有条件：，（都是正整数，且0）; 交于点,那么（即）与（即）的比值是，即有：; 练习：1、如图已知，.分别是、的角平分线，是两条角平分线的交点；，计算：（1）的度数；（2）的度数；答案（1）150；（2）75；2、 如图已知，.一组折线交于点：FEACDB（1）当 , ,交于点那么与（即）的比值是多少？验证你的结论；（2）当，交于点那么与（即）的比值是多少？请直接写出答案；答案（1）；（2）；3、如图已知，.一组折线交于点：且：(1)，（其中是正整数），交于点那么与（即）的比值是多少？ (2),（其中是正整数）, 交于点,那么与（即）的比值是多少？答案（1）；（2）；1
