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1、直线度误差测量一种为了估计直线度最小误差区域快速而简单算法来自坐标抽摘要：过去已经有各种各样的方法来判定最小区域直线度误差，但是 这些方法都有它们各自的缺点。一种来自平面坐标抽的新的，快速， 简单的算法被提出来计算直线度误差。它确保了最小区域的解决方 法。一个例子和实验数据可以证明。模拟实验的结果使计算这个算法 的时间复杂度得以确定也可以显示它的优点。关键词：坐标测量机（ CMM，算法 直线度误差介绍在工业能力观中通过坐标测量机来估计各种产品的性能已经是非常的广泛和受欢迎了。在许多情况被探索之后，直线度是一个典型的 特征。例如：机床的分层，游标卡尺的梁。当用坐标测量机来判定直 线度误差时，坐标
2、测量机主要是获得了工作空间的坐标。在那之后， 这些坐标用软件设备分析出来得到测量结果。本文介绍了一种新的从 二维坐标数据判定直线度误差的方法。根据IOS （种绘图操作系统），“当来自一个理想的几何形式的 附加面一个单独的坐标的距离等于或小于这个特定的公差的值的时 候，一个单独的公差特征的直线度被认为是正确的。这个理想直线的 方向将会被选择是因为它是最大距离与这个被考虑的特征点的真实 表面之间最小的可能值。”因此直线度误差是把真实表面围起来的两 条平行线之间的最短距离，也可以称为最小区域的直线度误差。然而 判定参考线的正确性的不仅仅是算数计算那么简单，许多测量坐标机 的开发者运用各种近似值，但是
3、在政府工业数据变换计划警报后他们 就变的谨慎了。在过去为了判定最小区域直线度误差各种各样的办法都已经被提 出过了。Mur thy and Abdin讨论运用各种方法从最小平方和普通最小 平方开始单纯性搜索法和螺旋性搜索法技术。 Dhanish and Shunmugam 运用线性，非连续的切比雪夫逼近的理论从格式数据方面来判定直线 度误差，在这里参考线是用来和测量线排列成一线的，而不是为了坐 标数据运用的。Carr and Ferreira用了国际商业机器公司（IBM）的 软件包库来获得最小区域的解决方法Cheragh i等人开发了一般线性 程序以一种特殊的搜索方法来判定最小区域直线度。首先凸
4、形构造被 确定，然后双点的对应点也就被确认了。所有的距离被估算出来后， 最小值就作为直线度误差。Orady等人用单纯搜索法来计算最小区域 直线度误差。Chen and Fan用了微软Excle中广义约化梯度法来判定 直线度误差。Huang提出了一个基于凸出点的测定上的方法。他有着 准确的判定那就是三个点足够确定最小区域度误差，但是提出的这个 方案中没有一个方法可以删除已经加入的点。他已经表明在一个定义 的点集中有六到七个点剩余，那就意味着最佳的解决方法还没有被找 到。举一个可以得出计算结果的例子，凸出的点是11, 64, 47,67, 33, 86和89，得出最佳解的点应该是被单独定义的点47
5、,67,89。大多数上述所提到的方法中都是有针对性的解决问题，这些算法 都尽可能的快确不能利用到数据本身的特性。例如启发式法中的模拟退火法，遗传算法和神经网络法都很快，但是都不能保证得到最佳解。Liu等人采用了一种将遗传算法和几何特性相混合的方法。然而，更好和更快的算法是永远的利益。在这篇文章当中，一种新的算法被提 出，这种算法的每一步以一种非常简单的形式呈现，是的任何一个用 户觉得这种算法易于编程。 实验与模拟数据相较于该算法的执行时 间和冒泡排序，堆排序这两种排序算法都展现出来了。二问题的数学定义用(xl, yl),(x2, y2),.,(xi, yi),.,(xn,yn来代表该测量线 上
6、的n个点在xy平面内的x,y坐标。我们的目标是找出理想直线的斜率 10和截距y0，这条直线上的点是给出的最适合的点。至于这条理想直线 的误差点(X y)已经被给ei=yi-(yo+loxo) V 1+lo20我们用e来指代i imax误差值中的最大值，用e来指代误差值中的最小值。然后，直线度误 min差h就可以用h = e e来计算。根据最小区域准则，当h最小化时我们maX min三算法图一 直线度误差的定义该算法的大致过程如下：在第一步和第二步中，我们根据数据确 定一条近似线然后旋转坐标轴是X轴沿着数据点。至于这条线，我们 先忽略直线度偏离的非直线性，在第三步到第十四步中判定最小区域 直线。
7、在这之后的第十五步中，我们检查是否是非直线性，如果是， 我们就相应地旋转数据点。我们不断重复直到旋转的X轴与确定的最 小区域线之间的角变得很微小。一旦这些都完成了，我们就在原坐标 系中确定了这条线的参数（第十六步）和直线度误差（第十七步）。第一步：确定数据集合中两个最远的点（见图二2a）。如果两个点 是从一个点的终点到另一个点的终点测量的，那么这两个点很容易确 定。否则，我们可以利用这些点都几乎沿着一条直线这个依据，得出 最大和最小x坐标的点可以被确认为最远的点。确定由这两个点确定 的这个状态的直线与X轴之间的夹角e。如果这个角大于45，我们 可以交换x轴和y轴的坐标，然后进行下一步。第二步：
8、根据这个8来旋转坐标轴形成一个新的x轴，这个x轴平行 于这条状态线。（见图二2b）。这样，我们获得了n对点，如：（xi，, yi）xi， = xi, cos8 + yisinQ，和yi，= xisinQ + yi cos8 .第三步：选一组三个点作为初始参考集（见图二2c）。选出的这 三个点最终是不是算法所汇聚的三个点没有关系。用（u1, V 1）, （u2, V 2）, （u3, V 3）来指代选出的这三个点，其中u, v与x，,y，相一致。第四步：算出入1,入2和入3,它们的计算公式已经给出入1二u3 u2;入 2 =u1 u3;入 3 = u2 -u1。第五步：计算标准偏差d,它的计算方
9、式如下：d=入 lv 1+入 2 2+入 3v 3-入1+入2 +入3第六步：找到p1,p2和p3距离的值，使得这些距离值与经过参考集 的这条线等同，如下： p1=v 1+ （sgn（入 1）d p2=v 2+ （sgn（入 2）d p3=v 3+ （sgn（入 3）d 这里sgn（入k）表示入。第七步：用过下面两个方程式解出yo，xo，找出与它们相等的 参考线。p1= yo， +xo， u1p2= yo， + xo， u2p3= yo， + xo， u3这里的y截距和斜率是从坐标系中译处来的。第八步：在已获得的等同了的参考线中所有已翻译的n个点中找到 所谓的误差点ei=yi，-（yo，+xo
10、，xi，）第九步：找出ei绝对值中的最高值，这就是我们所说的最大误差 值e*。第十步：比较|e* |和|d |如果|e*|W|d|,则在等同的参考线附近就 是最小区域直线转换的坐标。这就是我们所要的最佳化准则。调到15 步检查第一步选出的斜率是否完全正确。如果|e*|d|,则这个点i* 就是相应的最大误差。xi 1 ,yi 1也可以被考虑在参考集当中。(见图 二，2e)找到被丢弃的点，进入第一步。第一步：我们利用St iefel提出的方法被删除的点。在下面方程 式中解出ml,m2和m3：m1+m2+m3+1=0m1u1+m2u2+m3u3+xi1 =0因为这里有两个方程式，而有三个未知量。假设
11、出其中的一个ms的一 个合适的值m3=l,然后解出剩下的值。第十二步：计算出下面ql,q2和q3的比值：ql二ml/入 l,q2二m2/入 2,q3=m2/A 3第十三步：检查sgn(d)e*。如果它比0大，则这个点的最小值为q 应该从参考集中被删除，否则，这个点的最大值应该被删除。(见图 二 2f)第十四步：形成一个新的参考集，里面包括误差最大的点，但不包 括在十二步中确定的最大值或最小值的点。我们把这些点再次用(ul, v 1), (u2, v 2), (u3, v 3)来指代，这里u，v还是代表x，,y， 从第四步开始重复，直到达到第十步最佳的准则就确定了。第十五步：检查旋转过的坐标系中
12、的斜率是否足够小(见图二2g)， 如果是，我们停止重复，调到十六步在原始坐标系中找到截距和斜率。 否则我们必须旋转原始坐标轴使得x轴与在第二步中已获得的等价参 考线相平行。但是这里8要用8 +1/tanlo，。第十六步：原始坐标系中的最小区域线的斜率和y轴截距已经给出,这是最佳的求解方式：yo=yo /(cosB - lof sin0 )lo=(lo， +tan0 )/(llo， tan0 )第十七步：在原始坐标系中所获得的线的点的误差可以用公式ei=(yi-yo-loxi)/ V 1+lo2计算。这些误差值中的最小值和最大值用emin和emax来表示。则最小区域直线度误差h可以用公式h二em
13、ax-emin来计算。I nitial Rsfpirencgi SgiLvQlld FleTerence LineFail best Polnls 丿一Line、sLAfter Flolaticnf 一一 X%/ x琛e-V0Nd perpendicdargPointto beremwed from rGference seiMini mum Zore Lin in Sage 1Minimum Zone &1raightneBS errorJ.Poinl to be incLded in nefererce &e1图二 算法计算当中几个重要的步骤。四实例让我们现在将这种算法应用到数据集当中。表
14、1中给出x,y轴坐标，计 算得出结果。第一步：很明显，点3和8是最远的点。连接这两个点的形成的直线与原来的x轴构成一个角8 = -0.52509。第二步：根据这个8旋转坐标轴使新的x轴平行于重点线，我们就 得到了如表格中4和5栏中新的x，,y坐标。第三步：我们选择数据集中的1,2,3点作为参考集中最初的点。与 表3栏3中一致的u,v值就出现了。第四步：现在入 1=u3-u2= 12.3101 -50.2375 =-37.9274入 2=u1-u3 =58.2937 - 12.3101 =45.9836入 3=u2-u1= 50.2375 - 59.2937 =-8.0562第五步：参考值偏差d
15、=-0.76274第六步：平行参考线应该经过这些点p1=v 1+ (sgn (入 1) ) d= 1.6978p2=v 2+ (sgn(入 2)d= 1.7239p3=v 3+ (sgn(入 3) d= 1.8467第七步：解出下面任意两个方程：1.6978=yo， +lo， *58.29371.7239= yo， + lo， *50.23751.8467二 yo，+ lo，*12.3101这样我们就得到了yo，= 1.88655, lo，=- 0.00323819。第八步：在点1旋转过的坐标系的误差已经给出e1= -0.76274,相似地，表3第二栏中给出的其他点的误差也可以计算出。第九步：ei绝对值最高的是点12的2.44625,因此这是我们的最大 误差e*o第十步：因为|e*|d|，最佳值的情况不满足；我们需要参考集中 的点i*=12的x轴xi，=71.1054 yi，=-0.78995，确定这个点被排除， 我们进入下一步。第十一步：我们需要解下面的方程式：m1+m2+m3+1=0m1* 58.2937+m2 *50.2375+m3* 12.3101=0,选m3=1 然后解出，我
