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1、附 1：用 LINGO 求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产AA2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A” 或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A2能全部售出，且每公斤A1获利 24元 每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480 小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划, 使每天获利最大，并进一步讨论以下 3 个附加问题：1）若用 35 元可以购买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳
2、动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤 A1 的获利增加到 30 元，应否改变生产计划？ 数学模型：设每天用 x1 桶牛奶生产 A1 ，用 x2 桶牛奶生产 A2目标函数：设每天获利为z元。X桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1, x2桶牛奶可生产4*x2公 斤 A2,获利 16*4x2，故 z=72X+64x2约束条件：原料供应：生产 A1、A2 的原料（牛奶）总量不超过每天的供应 50 桶，即X+x2W50劳动时间：生产 A1、A2 的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间 480 小时，即12X+8x2W480设备能力：A1的产量不得超过设备甲
3、每天的加工能力100小时，即3XW100非负约束：X、x2均不能为负值，即X20, x20综上所述可得max z=72X1+64X2s.t.X+x2W5012X+8x2W4803x1100X0, x20显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划（LP）,求出的最优解将给出使净利润最 大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性（或灵敏度）分析。LINGO 求解线性规划用 LINGO 求解线性规划时，首先在 LINGO 软件的模型窗口输入一个 LP 模型，模型以 MAX 或 MIN 开始，按线性规划问题的自然形式输入（见下面例子所示）。以下解加工奶制品的生
4、产计划问题：由于LINGO中已假设所有的变量都是非负的，所以非负约束条件不必输入；LINGO也不区分变量中 的大小写字符（实际上任何小写字符将被转换为大写字符）；约束条件中的“=”及“=”可用“”及”代替。在 LINGO 模型窗口输入如下： max=72*x1+64*x2; x1+x2=50; 12*x1+8*x2=480;3*x1=100;用鼠标单击菜单中的求解命令（Solve）就可以得到解答，结果窗口显示如下: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCED COSTX120.
5、0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO. ITERATIONS=2计算结果表明：“LP OPTIMUM FOUND AT STEP2表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解。“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1） 3360.000 ”表示最优目标值为 3360.000 （LINGO 中将目标函数 自动看作第 1 行，从第二行开始才是真正的约束条件）。“VALUE”给出最优解
6、中各变量（VARIABLE）的值：X=20.000000, x2=30.000000。“REDUCED COST”的含义是（对MAX型问题）：基变量的REDUCED COST值为0,对于非基变量, 相应的 REDUCED COST 值表示当非基变量增加一个单位时（其它非基变量保持不变）目标函数减少的量。 本例中两个变量都是基变量。“SLACK OR SURPLUS给出松弛（或剩余）变量的值，表示约束是否取等式约束；第2、第3行松 弛变量均为0,说明对于最优解而言,两个约束均取等式约束；第4行松弛变量为40.000000,说明对于最 优解而言,这个约束取不等式约束。“DUAL PRICES给出约
7、束的影子价格（也称为对偶价格）的值：第2、第3、第4行（约束）对应 的影子价格分别 48.000000, 2.000000, 0.000000。“NO. ITERATIONS=2表示用单纯形法进行了两次迭代（旋转）。灵敏度分析，则LINGO还会输出以下结果：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.000000&000000X264.000000&00000016.000000RIG
8、HTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000以上显示的是当前最优基（矩阵）保持不变的充分条件（RANGES IN WHICH THE BASIS ISUNCHANGED）,包括目标函数中决策变量应的系数的变化范围（OBJ COEFFICIENT RANGES）和约束 的右端项的变化范围（RIGHTHAND SIDE RANGES）两部分。前一部
9、分的输出行XI72.00000024.0000008.000000表示决策变量X1当前在目标函数中对应的系数为72,允许增加24和减少8。也就是说，当该系数在 区间64, 96上变化时（假设其它条件均不变），当前最优基矩阵保持不变。对X2对应的输出行也可以类 似地解释。由于此时约束没有任何改变，所以最优基矩阵保持不变意味着最优解不变（当然，由于目标函 数中的系数发生变化，最优值还是会变的）。后一部分的输出行250.00000010.0000006.666667表示约束2当前右端项为50,允许增加10和减少6.666667。也就是说，当该系数在区间43.333333, 60上变化时（假设其它条件
10、均不变），当前最优基矩阵保持不变。对约束3、约束4对应的输出行也可以 类似地解释。由于此时约束已经改变，虽然最优基矩阵保持不变，最优解和最优值还是会变的。但是，由 于最优基矩阵保持不变，所以前面的“DUAL PRICES”给出的约束的影子价格此时仍然是有效的。用LINGO求解加工奶制品的生产计划，结果如下：20桶牛奶生产A, 30桶生产A2,利润3360元。1）35元可买到1桶牛奶，要买吗？由于原料的影子价格为48, 35 48,应该买！2）聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？由于工时的影子价格为2,聘用临时工人付出的工资最多每小时2元3）A1获利增加到30元/千克，应否改变生产计划由于要使最优解保持不变，XI系数的允许变化范围为64,96。1系数由24 *3=72增加为30 *3=90, 在允许范围内。所以不改变生产计划。
