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1、F + P )At = mv2 mv12)题31:质量为m的物体，由水平面上点O以初速为v抛出，v与水平面成仰角a。若不计 00空气阻力，求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到 落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。题 31分析：重力是恒力，因此，求其在一段时间内的冲量时，只需求出时间间隔即可。由 抛体运动规律可知，物体到达最高点的时间At =怦乞，物体从出发到落回至同一水平面1g所需的时间是到达最高点时间的两倍。这样，按冲量的定义即可求出结果。 另一种解的方法是根据过程的始、末动量，由动量定理求出。解 1：物体从出发到达最高点所需的时间为v sinaAt
2、= L1g则物体落回地面的时间为2v sinaAt = 2 At = l21g于是，在相应的过程中重力的冲量分别为I = J Fdt = mgAt j1 At1 = mv j mv j = 2mv sin a j0I = J Fdt = mgAt j = 2mv sin a j2 At 2 By 0y 0题32：高空作业时系安全带是必要的，假如质量为51.0kg的人不慎从高空掉下来，由于安 全带的保护，使他最终被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为2米，安全带的缓冲作用时 间为0.50秒。求安全带对人的平均冲力。题32解1：以人为研究对象，在自由落体运动过程中，人跌落至2 m处时的速度为v1 =
3、 丫2 gh （1） 在缓冲过程中，人受重力和安全带冲力的作用，根据动量定理，有02解2：根据动量定理，物体由发射点O运动到A、B的过程中，重力的冲量分别为fI = mv j mv j = mv sin a j1 Ay 0y 0A(mv )F = mg + At由（1）式、（2）式可得安全带对人的平均冲力大小为=mg + m 2gh = 1.14 x 103 N At解 2：从整个过程来讨论，根据动量定理有F = mg v 2h / g + mg = 1.14 x 103 N At题3.3：如图所示，在水平地面上，有一横截面S = 0.20m2的直角弯管，管中有流速为v = 3.0 m - s
4、 -1的水通过，求弯管所受力的大小和方向。题3.3解：在At时间内，从管一端流入（或流出）水的质量为Am = pvSAt，弯曲部分AB的水 的动量的增量则为Ap = AmC - v ）= pvSAtC - v ）B A B A依据动量定理I = Ap，得到管壁对这部分水的平均冲力F = = pSvC - v ）AtB A从而可得水流对管壁作用力的大小为F = -F = 7 2pSv2 =-2.5 X103 N作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。题 3.4：一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6 m 爆炸1.00s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距
5、抛出点的水平距离为1.00 x 102m。 问第二块落在距抛出点多远的地面上？（设空气的阻力不计） 题 3.4 解：取如图示坐标，根据抛体运动的规律，爆炸前物体在最高点A的速度的水平分量为vox = 7 = X12h0物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为7 1y = h - v t -gt 21 1 2当该碎片落地时，有y = 0,t = t，则由上式得爆炸后第一块碎片抛出的速度117 1h - gt 2v =乩（2）1t1又根据动量守恒定律，在最高点处有mv =丄 mv（3）0x 2 2x0 = - mv + mv （4）2 1 2 2y联立解式（1）、（2）、（3）和（4）,可得爆炸
6、后第二块碎片抛出时的速度分量分别为v = 2v= 2x 112xOx1 2h=100 m - st7 1h - gt221v = v = 14.7 m - st2y 1t1爆炸后，第二块碎片斜抛运动，其运动方程为x = x + v t21 2x 27 1y = h + v t - gt22y222落地时， y =0，由（5）、 （6）可解得第二块碎片落地点的水平位置2x = 500 m2题3.5： A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4 m-s-1的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为0.5xl0
7、3 kg和1.0x 103 kg，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力 ）题35分析：由于两船横向传递的速度可略去不计，则对搬出重物后的船A与从船B搬入 的重物所组成的系统I来讲，在水平方向上无外力作用，因此，它们相互作用的过程中应满 足动量守恒；同样，对搬出重物后的船B与从船A搬入的重物所组成的系统II亦是这样。 由此，分别列出系统I、II的动量守恒方程即可解出结果。%表示,解：设A、B两船原有的速度分别以vA、vB表示，传递重物后船的速度分别以Vi、A BA被搬运重物的质量以m表示。分别对上述系统I、II应用动量守恒定律，则有+ mv = m V1）AA B A AS m)v +
8、mv = m V (2)BB A B B由题意知va = 0，vB = 3.4 m-s-1代入数据后，可解得ABvAvB-m mv-m)(n-m)v(m -m)m-m7-m2= -0.40 m - s-1= 3.6m - s -1m2也可以选择不同的系统，例如，把A、B两船（包括传递的物体在内）视为系统，同样能满足动量守恒，也可以列出相应的方程求解。题36：贡量为m的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成a角的速率v向前0跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出 物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）题 36解：取如图所示坐标。把人与
9、物体视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物过程中，满足动量守恒，故有(m + mcos a = mv + m-u0式中 v 为人抛物后相对地面的水平速度，v-u为抛出物对地面的水平速度。得mv = v cos a +u0m + m人的水平速度的增量为mAv = v 一 v cos a =u0m + m而人从最高点到地面的运动时间为v sin at = Lg所以，人跳跃后增加的距离A A mv sin aAx = Avt = (-a 厂 umf + m)g题3.7：铁路上有一静止的平板车，其质量为m，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。 现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对
10、平板车的速度均为u。问：在 下列两种情况下，（1）N个人同时跳离；（2） 个人、一个人地跳离，平板车的末速是多 少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?题 3.7 解：取平板车及 N 个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向 系统在该方向上满足动量守恒。考虑N个人同时跳车的情况，这跳车后平板车的速度为v,则由动量守恒定律得 0 = mv + NmC - u ）1）Nmv =um + Nm又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上尚有n个人时的速度为v,跳n下一人后车速为v】，在这一次跳车过程中，根据动量守恒有Cm + nm Ln-12）=mv+C - 1)wv+ mC-
11、 u )n -1n -1n -1由式（2）可解得递推公式3）mv = v +un-1 n m + nm显然，当车上有N个人时（即n = N），因尚未有人跳离平板车，故vN = 0；而车上N个人 全跳完时，车速为v0。根据（3）有vN-1mv = v +uN-2 N-1m m + N -1 丿 mmv = v +u01 m + m将上述各等式的两侧分别相加，整理后得Nmv =乙u0 m + nmn=1由于 m + nm v0在物体上的绳索从水平面成30。角变为37。角时，力对物体所作的功为多少？已知滑轮与水W = J F - dr = J F cos 0dx = J 七-dx = 1.69 Jx
12、1vd + x 2x： xi即N个人一个接一个地跳车时，平板车的末速v0大于N个人同时跳下时平板车的末速v。 这是因为在 N 个人逐一跳离车时，车队地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也 在逐次增大，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。 题38：如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为1.00kg的物体上，起初物体静止 在无摩擦的水平面上。若用5.00 N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右加速运动，当系题3.9：物体在介质中按规律x = ct3作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x = 0运动到x = l时，阻力所作
13、的功。（已知阻力系数为k） 0题3.9解：由运动学方程x = ct3，可得物体的速度 dxv = 3ct 2dt按题意及上述关系，物体所受阻力的大小为F = kv2 = 9kc2t4 = 9kc2/3x4/3 则阻力的功为277kc2/317/3W = J1 F -dx = J1F cosl80。dx = -f19kc2/3x4/3dx =0 0 0题3.10： 一人从10.0 m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。题310 解:水桶在匀速上提过程中，a = 0，拉力与水桶重力平 衡，有F
14、+ P = 0 在图示所取坐标下，水桶重力随位置的变化关系为P=mg-agy其中a = 0.2 kg/m，人对水桶的拉力的功为W = f10mF - dy = f10m（mg - agyby = 882 J00题311： 一质量为0.20kg的球，系在长为2.00 m的细绳上，细绳的另一端系在天花板上。把小球移至使细绳与竖直方向成30。角的位置，然后由静止放开。求：（1）在绳索从30。角到0。角的过程中，重力和张力所作的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；（3）在最低位置 时的张力。题311解：（1）如图所示，重力对小球所作的功只与始末位置有关，即W = PAh = mgl G - cos0 ）= 0.53 JP在小球摆动过程中，张力ft的方向总是与运动方向垂直，所以张力的功W =f F -ds = 0TT（2）根据动能定理，小球摆动过程中，其动能的增量是由于重力对它作功的结果。初始时 动能为零，因而，在最低位置时的动能为E =W =0.53JkP小球在最低位置时的速率为I2EI2W230v = k=p = 2.30 m - s-1mm（3）当小球在最低位置时，由牛顿定律可
