《2015年高考复习核按钮理科数学—第五章 平面向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年高考复习核按钮理科数学—第五章 平面向量（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念和两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义；理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义此部分难度不大，但高考中与之结合的考题难度往往不低，对建立在概念基础上的综合运用及创新意识的考查正成为热点1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的_(或称模).的模记作_(2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的(3)单位向量：长度等于_的向量叫做单位向量.是一个与a同向的_是一个与a_的单位向量
2、(4)平行向量：方向_或_的_向量叫做平行向量平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_(5)相等向量：长度_且方向_的向量叫做相等向量(6)相反向量：长度_且方向_的向量叫做相反向量(7)向量的表示方法：用_表示；用_表示；用_表示2向量的加法和减法(1)向量的加法三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为_以第二个向量b的终点B为_的向量就是a与b的_(如图1)推广：_.图1图2平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作ABCD，则以A为起点的_就是a与b的和(如图2)在图2中，b，因此平行四边形法则是三
3、角形法则的另一种形式加法的运算性质：ab_(交换律)；(ab)c_(结合律)；a0_a.(2)向量的减法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，则_，即ab表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)3向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下：_；当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a_.(2)运算律：设，R，则：(a)_；()a_；(ab)_.4两个向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数，使得_【自查自纠】1(1)大小方向长度(2)长度为0任意(3)1个单位长度单位向量方向相
4、反(4)相同相反非零共线向量平行(5)相等相同(6)相等相反(7)字母有向线段坐标2(1)起点终点和对角线baa(bc)0a(2)ab3(1)a|a|相同相反0(2)(a)aaab4ba如果a，b是两个单位向量，则a与b一定()A相等 B平行C方向相同 D长度相等解：|a|b|1，故选D.如图，正六边形ABCDEF中，()A0 BC D解：，故选D.()设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|解：由题意表示与向量a和向量b同向的单位向量相等，故a与b同向共线故选C.()在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_解：由向量
5、加法的平行四边形法则得2，2.故填2.如图，已知B30，AOB90，点C在AB上，OCAB，用和来表示向量，则等于_解：().故填.类型一向量的基本概念下列五个命题：温度有零上和零下之分，所以温度是向量；向量ab，则a与b的方向必不相同；|a|b|，则ab；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；方向为北偏西50的向量与方向为东偏南40的向量一定是平行向量其中正确的是()A B C D解：温度虽有大小却无方向，故不是向量，错；ab，a与b的方向可以相同，错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，错；正方形ABCD中与共线，但A，B，C，D四点不共线，错；作图易得正确故选C.【评析】(
6、1)与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质；(2)概念是学习新理论的基础，概念又衍生出公式、定理、性质、新概念甚至新理论体系，因此应重视对概念的学习；(3)课本上给出的概念(定义)都是非常准确、简洁的，熟记这些概念(定义)并逐步熟练应用是学习新知识的好习惯给出下列命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则ab；若，则ABCD为平行四边形；在ABCD中，一定有；若mn，np，则mp.其中不正确的个数是()A2 B3 C4 D5解：两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不一定有相同的起点和终点，故不正确；，由于a与b
7、方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确，正确的是.故选B.类型二向量的线性运算如图所示，下列结论正确的是()ab；ab；ab；ab.A B C D解：由ab，知ab，正确；由ab，从而错误；b，故ab，正确；2bab，错误故正确的为，故选C.【评析】向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把
8、握()如图，在ABC中，BD2DC.若a，b，则()A.abB.abC.abD.ab解：2，又aa(ba)ab.故选C.类型三向量共线的充要条件及其应用已知A，B，C是平面内三个不相同的点，O是平面内任意一点，求证：向量，的终点A，B，C共线的充要条件是存在实数，使得，且1.证明：(1)先证必要性若，的终点A，B，C共线，则，存在实数m使得m，即m()，m(1m).令m，1m，则m1m1，即存在实数，使得，且1.(2)再证充分性若，且1，则(1)，()，即，又BC与BA有公共点B，A，B，C三点共线综合(1)(2)可知，原命题成立【评析】证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B
9、，C所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数，使.但证明两条直线ABCD，除了证明存在一个实数，使外，还要说明两直线不重合注意：本例的结论可作定理使用(1)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()A. B.C. D.解：注意到N，P，B三点共线，因此我们有mm，从而m1m.故选B.(2)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D解：(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)2，A，B，D三点共线故选A.(3)()已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma3b与a(2m)b共线，则实数
10、m的值为()A1或3 B.C1或4 D3或4解：向量ma3b与a(2m)b共线，ma3b解得m1或m3.故选A.1要准确理解向量的概念，须特别注意以下几点：(1)ab，有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|b|ab；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等2向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义
11、，是数与形的完美结合向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧3平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算，在学习的时候要注意它们的联系与区别4对于两个向量共线定理(a(a0)与b共线存在唯一实数使得ba)中条件“a0”的理解：(1)当a0时，a与任一向量b都是共线的；(2)当a0且b0时，ba是不成立的，但a与b共线因此为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a0.换句话说，如果不加条件“a0”，“a与b共线”是“存在唯一实数使得ba”的必要不充分条件而本节例3所讲述的充要条件，其本质与此定理是一致的，只是表达的方式不一样而已，请仔细体会其中联系1下列命题中正确的是()A若ab，bc，则acB若|a|b|，则ab或abC对于任意向量a，b，有|ab|ab|D对于任意向量a，b，有|a|b|ab|解：对于选项A，若b0，结论不一定成立，A错；对于选项B，模相等方向不一定相同或相反，B错；对于选项C，若非零向量a与b方向相反，则|ab|ab|，C错；D正确故选D.2如图所示的方格纸中，有定点O，P，Q，E，F，G，H，则()A. B. C.
