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1、高斯平面直角坐标系与大地坐标系1 高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标（L,B），求该点在高斯投影平面上的直角坐标（X, y），即（L,B）n （x, y）的坐标变换。2）投影变换必须满足的条件 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件3）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点P和P，它们的大地坐标分别为（L,B ）及12（l,B），式中i为椭球面上p点的经度与中央子午线（L ）的经度差：l = L L , p点在 00中央子午线之东，l为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P（x, y）和P （x,y）。 1
2、2（4）计算公式NNx = X +sin Bl 2 +sin B cos3 B（5 12 + 9q 2）l 42p22 p4、NNNy = cos Bl + B（1 12 +n 2）l3 +cos5 B（5 18t2 +14 ）l 5p6p3120p5当要求转换精度精确至O.OOlm时，用下式计算：NNx = X +sin Bl 2 +sin B cos3 B(5 一 12 + 9n 2 + 4m)l4 +2 p 224 p 4Nsin B cos5 B(61 一 58t2 +14)l 6 720p6NNy = cos Bl +cos3 B(1 12 +q 2)1 3 +p6p 3Ncos5
3、B(5 18t2 +14 +14耳 2 58n 2t2)1 5720p 52 高斯投影坐标反算公式（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标,y），求该点在椭球面上的大 地坐标（L, B），即（X, y）n （L,B）的坐标变换。（2）投影变换必须满足的条件 x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； x 轴上的长度投影保持不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。（3）投影过程根据x计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度B，接着按B计算（B -B ）及经差fffl，最后得到 B - B 一（B 一 B）、L = L0 +1。f f0（4）计算公式B - B fy2 + f(5 + 3
4、t3 +n 2 9n 212)y4 f2MN24M N 3 f f f ft72*(6i+90t 2+45t 4) y 6l -y (1 + 2t2 +n2)y3 +N cos B 6N3 cos Bf f(5 + 28t 2 + 24t 4 + 6耳 2 + 8n 212) y 5120N5 cos Bf f f f f当要求转换精度至0.01时，可简化为下式:ttB - B f y2 + f(5 + 3t2 +n 2 9n 212)y4f2MN24M N 3 f f f fl -y (1 + 2t2 +n2)y3 +N cos B6N3 cos Bf f(5 + 28t 2 + 24t 4
5、) y 5120N5 cos Bf f3高斯投影相邻带的坐标换算（1）产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中 央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在 工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用3。带、1.5。带或任意 带，而国家控制点通常只有6。带坐标，这时就产生了6。带同3。带（或1.5。带、任意带）之间 的相互坐标换算问题，如图所示：线LL子线(2) 应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算 计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带(比如I带)内有关点的平面坐
6、标(x,y),利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标(l,B)，进而得到L = L +1 ;I0然后再由大地坐标(B, 1)，利用投影正算公式换算成相邻带的(第II带)的平面坐标(x,y)。II 在这一步计算时，要根据第II带的中央子午线Li来计算经差1，亦即此时1 = L-L。0 0 算例在中央子午线L = 123。的I带中，有某一点的平面直角坐标x = 5728374.726m，0 1y =+210198.193m，现要求计算该点在中央子午线Lii = 129。的第II带的平面直角坐标。1 0 计算步骤 根据x , y利用高斯反算公计算换算B , L，得到B = 51。38,43.9
7、024，1 1 1 1 1L = 126。0213.1362。1 .采用已求得的B , L，并顾及到第II带的中央子午线Li = 129。，求得1 1 01 = -2。57,46.864，利用高斯正算公式计算第II带的直角坐标x , yII II .为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算 4子午线收敛角公式(1)子午线收敛角的概念如图所示，p、pN及pQ分别为椭球面p点、 过p点的子午线pN及平行圈pQ在高斯平面上的描 写。由图可知，所谓点p子午线收敛角就是pN在p 上的切线p n 与pt坐标北之间的夹角，用y表示。在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于 投影具有正形性质，因此它们
8、的描写线pN及pQ也 必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于p Q 在p点上的切线pq 同平面坐标系横轴y的倾角。(2)由大地坐标(L,B)计算平面子午线收敛角角公式y = sinB -1 + 3sinBcos2 B -13(1 + 3q2 + 2q4) + -5sinBcos4 B -15(2一 12) h(3) 由平面坐标(x,y)计算平面子午线收敛角y的公式P”y 2Y =ytanB 1 (1 +12 -n2)Nf3N 3f ffL f上式计算精度可达 1。如果要达到 0.001计算精度，可用下式计算：P”P”y 2P”y5Y”= yt t (1 +12 n2) +t (2 + 5t2 + 3t4)N f 3N 3 f f f15N 5 ff ffff4) 实用公式 已知大地坐标(L, B)计算子午线收敛角YY = 1 + (0.33333 + 0.00674cos2 B) + (0.2cos2 B 0.0067)12l2 cos2 Bl sin Bp” 已知平面坐标(x, y)计算子午线收敛角Y = 1 (0.33333 0.00225 cos4 B ) (0.2 0.067 cos2 B )Z2Z2Zsin B p”fff
