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1、名校精品资料数学第三节等比数列及其前n项和 来源:考点一等比数列的判定与证明 例1已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求证：bn是等比数列自主解答an2Sn2Sn14an124an24an14an.2，S2a1a24a12，a25.b1a22a13.数列bn是首项为3，公比为2的等比数列【互动探究】保持本例条件不变，若cn，证明：cn是等比数列证明：由例题知，bn32n1an12an，3.数列是首项为2，公差为3的等差数列2(n1)33n1，an(3n1)2n2，cn2n2.2.数列cn为等比数列【方法规律】等比数列的判定方法证明一个数列为等比数
2、列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm解析：选Cbnam(n1)1(1qq2qm1)，qm，故数列bn为等比数列，公比为qm，选项A、B均错误；cnaq12(m1)，m(qm)mqm2，故数列cn为等比数列，公比
3、为qm2，D错误，故选C.高频考点考点二 等比数列的基本运算来源:1等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题2高考对等比数列的基本运算的考查常有以下几个命题角度：(1)化基本量求通项；(2)化基本量求特定项；(3)化基本量求公比；(4)化基本量求和例2(1)(2013新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A. B C. D(2)(2012浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.(3)(2013湖北高考)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，
4、S2，S3成等差数列，且a2a3a418.求数列an的通项公式；是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由自主解答(1)由已知条件及S3a1a2a3，得a39a1，设数列an的公比为q，则q29.所以a59a1q481a1，得a1.(2)由S23a22，S43a42作差，可得a3a43a43a2，即2a4a33a20，所以2q2q30，解得q或q1(舍)(3)设数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.由有Sn1(2)n.来源:若存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 0
5、12.当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k5答案(1)C(2)等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)化基本量求通项求等比数列的两个基本元素a1和q，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解(2)化基本量求特定项利用通项公式或者等比数列的性质求解(3)化基本量求公比利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解(4)化基本量求和直接将基本量代入前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解1(2013新课标全国卷)设首项为1，公比的等比数列an的前n项和为S
6、n，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an解析：选D因为a11，公比q，所以ann1，Sn332n132an.2(2014宁波模拟)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：设数列an的首项为a1，公比为q，aa10,2(anan2)5an1，由得a1q，由知q2或q，又数列an为递增数列，a1q2，从而an2n.答案：2n3等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解：(1)S1，S3，S2成等差数列，a1(a1a1q)2(a1a1qa1q
7、2)由于a10，故2q2q0，又q0，从而q.(2)由已知可得a1a123，故a14，从而Sn.考点三等比数列的性质 例3(1)已知等比数列an中，a1a2a340，a4a5a620，则前9项之和等于()A50 B70 C80 D90(2)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7来源:自主解答(1)S3，S6S3，S9S6成等比数列，S3(S9S6)(S6S3)2，又S340，S6402060，40(S960)202，故S970.(2)由已知得解得或当a44，a72时，易得a18，a101，从而a1a107；来源:当a42，a74时，易得a108，a1
8、1，从而a1a107.答案(1)B(2)D【方法规律】等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口1记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m的值为()A4 B7 C10 D12解析：选A因为an是等比数列，所以am1am1a，又由am1am12am0，可知am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积T2m1a，即22m1128，故m4.2在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168
9、，则a41a42a43a44_.解析：法一：a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548，由，得q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q，T1a1a2a3a41，T4a13a14a168，T4T1q31q38，即q2.T11a41a42a43a44T1q102101 024.答案：1 024课堂归纳通法领悟2个注意点应用等比数列的公比应注意的问题(1)
10、由an1qan(q0)，并不能断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1和q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致错误4种方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列；(2)等比中项法：在数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列；(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列注意：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列
