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1、报班地址：天明路校区郑州市农业路与天明路怡丰新都汇8号楼1单元425室；电话：037160385262 63582627 55819621 15516190425 18039226897河南省2015年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.答案：C 【解析】；应选C.2.答案：B 【解析】，则；即,所以为偶函数；应选B.3.答案：B【解析】，所以它定义域为,即；应选B.4.答案：B【解析】因，有；应选B.5.答案：C 【解析】因，得，即，所以；应选C.6.答案：A【解析】，其余三项极限均为无穷大，是不存在的；应选A.7.答案：A【解
2、析】 ，当时，是连续的，即时，必连续；应选A.8.答案：A【解析】；应选A.9.答案：C【解析】，应选C.10.答案：B【解析】 当两函数的切线相互垂直时，切点处两切线的斜率乘积为-1，即，所以，解得：；应选B.11.答案：C【解析】,所以在处连续；但，所以函数在处不可导；应选C.12.答案：B【解析】根据罗尔中值定理，应有，在内只有；应选B.13.答案：A【解析】根据极值的第一充分条件，在两侧，左负右正，取得极小值，所以是的极小值；应先A.14.答案：C【解析】由知函数在上单调递减；由知函数图像形状为凹；应选C.15.答案：A.【解析】依题，令得；代入函数得，所以拐点为（0,2）；应选A.1
3、6.答案：B【解析】依题，故；应选B.17.答案：D【解析】；应选D.18.答案：B【解析】因被积函数为奇函数，且积分区间为对称区间，所以；应选B.19.答案：A【解析】当时，；由定积分的保序性知，应选A.20.答案：A【解析】根据定积分的几何意义知，定积分就表示题中平面图形面积，应选A.21. 答案：C【解析】可分离变量微分方程标准形式是，显然只有C中方程满足，应选C.22.答案：D【解析】将代入微分方程得:，解之；应选D.23.答案: D【解析】方向角需满足，验证只有D选项满足；应选D.24.答案：D【解析】因，所以；应选D.25.答案：A【解析】设水箱长、宽、高分别为，则，令解得，此时水
4、箱表面积最小，即用料最省；最小表面积为；应选A.26.答案：A【解析】；而，所以，应选A.27.答案：A【解析】依题画出积分区域，有，所以，交换积分顺序后有，应选A.28. 答案：B【解析】易知，直线的参数方程为，则，应选B.29.答案：B【解析】选项A是条件收敛；选项B是绝对收敛；选项C是条件收敛；选项D发散；应选B.31.答案：C【解析】选项A中，则级数不一定收敛；选项B中没有说明级数为正项级数；选项C中收敛，则必收敛，故绝对收敛；选项D中发散，未必发散；如当时，级数发散，但是收敛；应选C.二、填空题（每小题2分，共20分）31.答案：【解析】由原函数得；交换得反函数；应填“”.32. 答
5、案：0【解析】,为有界变量；所以为无穷小量；所以；应填“0”.33. 答案：可去【解析】因，所以为可去间断点；应填“可去”.34. 答案：0.01【解析】；应填“0.01”.35. 答案：【解析】；应填“”.36. 答案：2【解析】；应填“2”.37. 答案：【解析】，所以；应填“”.38. 答案：【解析】向量的模为，所以与向量平行的单位向量为；应填“”.39. 答案：（为常数）【解析】方程为可化为，积分得,所以方程通解为，（为常数）；应填“（为常数）”.40.答案：1【解析】由幂级数的收敛半径可知；应填“1”.三、计算题（每小题5分，共50分）41【解】 .42.【解】.43.【解】.44.
6、【解】令，则.45.【解】由题知直线的方向向量为所求直线平行于，且过点，代入直线的点向式方程得所求直线方程为.46.【解】利用微分不变性方程两边微分得：，即有 ，所以 .47.【解】在极坐标下积分区域表示为，所以.48.【解】方程为标准的一阶线性微分方程，且，代入通解公式得所求方程通解为.49.【解】令级数化为，这是标准不缺项的幂级数，收敛半径，当，级数化为，是交错级数，为收敛的；当，级数化为，是调和级数，为发散的；从而级数的收敛域为；由得，故幂级数的收敛区间为.50.【解】级数的收敛域为，令其和函数为，即， 而，故.1四、应用题（每小题7分，共14分）51.【解】平面图形如图所示,所求平面图形面积可以看作矩形面积与非阴影面积之差，即有.52.【解】设生产辆自行车时，公司利润为； 依题，； 即，令得唯一可能极值点，此时，所以是极大值点即最大值点.故，当生产37500辆自行车时，公司的利润最大；五、证明题（6分）53.【证明】令,易知在0,1上连续，在（0,1）内可导，且,由罗尔中值定理可知：存在，使得,又,即存在，使得成立,故是方程的一个小于l的正根.所以方程必有一个小于l的正根报班地址：龙子湖校区郑东新区龙子湖北路与博学路交叉口向南200米学府广场B座13楼电话： 037155819620 15638117707 15036102897高等数学 第 1 页 （共8页）
