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1、多元线性回归模型1假定条件、最小二乘估计量和高斯马尔可夫定理 多元线性回归模型：yt = b0 +b1xt1 + b2xt2 + bk- 1xt k -1 + ut , (1.1)其中yt是被解释变量（因变量），xt j是解释变量（自变量），ut是随机误差项，bi, i = 0, 1, , k - 1是回归参数（通常未知）。 (1.3) Y = X b + u , (1.4)为保证得到最优估计量，回归模型（1.4）应满足如下假定条件。假定 随机误差项ut是非自相关的，每一误差项都满足均值为零，方差 s2相同且为有限值，即E(u) = 0 = , Var (u) = E( ) = s 2I =
2、s 2假定 解释变量与误差项相互独立，即 E(X u) = 0假定 解释变量之间线性无关。rk(X X) = rk(X) = k 其中rk()表示矩阵的秩。假定 解释变量是非随机的，且当T 时T 1X X Q 其中Q是一个有限值的非退化矩阵。最小二乘 (OLS) 法的原理是求残差（误差项的估计值）平方和最小。代数上是求极值问题。minS = (Y - X) (Y - X) = Y Y -X Y - Y X +X X = Y Y - 2X Y + X X (1.5)因为Y X是一个标量，所以有Y X = X Y。(1.5) 的一阶条件为：= - 2X Y + 2X X= 0 (1.6)化简得 X
3、 Y = X X因为 (X X) 是一个非退化矩阵（见假定），所以有= (X X)-1 X Y （1.7）因为X的元素是非随机的，(X X) -1X是一个常数矩阵，则是Y的线性组合，为线性估计量。求出，估计的回归模型写为Y = X+ (1.9)其中= ( ) 是 b 的估计值列向量，= (Y - X) 称为残差列向量。因为 = Y - X= Y - X (X X)-1X Y = I - X (X X)-1 X Y (1.10)所以也是Y的线性组合。的期望和方差是 E() = E(X X)-1 X Y = E(X X)-1X (Xb + u) = b + (X X)-1X E(u) = b (1
4、.11)Var() = E(b) (b)= E(X X)-1X u u X (X X)-1 = E(X X)-1X s 2I X (X X)-1 = s 2 (X X)-1 (1.12) 高斯马尔可夫定理：若前述假定条件成立，OLS估计量是最佳线性无偏估计量。具有无偏性。具有最小方差特性。具有一致性，渐近无偏性和渐近有效性。2. 残差的方差s2 = / (T - k) (1.13)s 2是s 2 的无偏估计量，E(s 2 ) =s 2。的估计的方差协方差矩阵是() = s2 (X X)-1 (1.14)3. 多重确定系数（多重可决系数）Y = X+=+ (1.15)总平方和SST = = Y
5、Y - T, (1.16)其中是yt 的样本平均数，定义为= 。回归平方和为SSR = = - T (1.17)其中的定义同上。残差平方和为SSE = = = (1.18)则有如下关系存在， SST = SSR + SSE (1.19)R2 = (1.20)显然有0 R 2 1。R 2 1，拟合优度越好。 4. 调整的多重确定系数当解释变量的个数增加时，通常R2不下降，而是上升。为调整因自由度减小带来的损失，又定义调整的多重确定系数如下： = 1 - = 1 - (1.21) 5. OLS估计量的分布 若u N (0, s 2I ) ，则每个ut都服从正态分布。于是有Y N (Xb, s 2I
6、 ) (1.22)因也是u的线性组合（见公式1.7），依据（1.11）和（1.12）有 N ( b, s2(X X)-1 ) (1.23) 6. 方差分析与F检验与SST相对应，自由度T-1也被分解为两部分，（T-1）= (k -1) + (T- k) (1.24) 回归均方定义为MSR = ，误差均方定义为MSE = 表1.1 方差分析表方差来源平方和自由度均方回归SSR =-T2k-1MSR = SSR / (k-1)误差SSE = T-kMSE = SSE / (T-k)总和SST= Y Y - T2T-1H0: b1= b2 = = bk-1 = 0; H1: bj不全为零F = =
7、F(k-1,T-k) (1.25)设检验水平为a，则检验规则是，若 F Fa (k-1,T-k)，接受H0；若 F Fa (k-1,T-k) , 拒绝H0。 0 Fa (k-1, T-k) -ta(T-k) 0 ta(T-k)F检验示意图 t检验示意图7t检验H 0：bj = 0, (j = 1, 2, , k-1), H 1：bj 0t = t(T-k) (1.26)判别规则：若 t ta(T-k) 接受H 0；若 t ta(T-k) 拒绝H 0。 11建模过程中应注意的问题（1）研究经济变量之间的关系要剔除物价变动因素。以上图为例，按当年价格计算，我国1992年的GDP是1980年的5.9
8、倍，而按固定价格计算，我国1992年的GDP是1980年的2.8倍。另外从图中还可看出，1980-1992期间按名义价格计算的GDP曲线一直是上升的，而按不变价格（1980年价格）计算的GDP曲线在1989年出现一次下降。可见研究经济变量应该剔除物价变动因素。 (2) 依照经济理论以及对具体经济问题的深入分析初步确定解释变量。例：我国粮食产量 = f（耕地面积、农机总动力、施用化肥量、农业人口等）。但根据我国目前情况，“耕地面积”不是“粮食产量”的重要解释变量。粮食产量的提高主要来自科技含量的提高。例：关于某市的食用油消费量，改革开放前常驻人口肯定是重要解释变量。现在则不同，消费水平是重要解释
9、变量，因为食用油供应方式已改变。(3) 当引用现成数据时，要注意数据的定义是否与所选定的变量定义相符。 例：“农业人口”要区别是“从事农业劳动的人口”还是相对于城市人口的“农业人口”。 例：2002年起我国已经执行新的规定划分三次产业。即将农、林、牧、副、渔服务业从原第三产业划归第一产业。(4) 通过散点图，相关系数，确定解释变量与被解释变量的具体函数关系。（线性、非线性、无关系）（nonli8）（5）谨慎对待离群值（outlier）。离群值可能是正常值也可能是异常值。不能把建立模型简单化为一个纯数学过程，目的是寻找经济规律。年INV（投资）IMPORT（进口）19912.56200023.4
10、700019922.42970032.2900019936.71240063.99000199415.3760078.75000199521.31000149.1300199627.37000113.8100199741.71000106.1500199839.78000112.2000 (6) 过原点回归模型与非过原点回归模型相比有如下不同点。以一元线性过原点模型，yt = b1 xt + ut ，为例， = 0不一定成立。原因是正规方程只有一个（不是两个），= 2 (yt -xt) (- xt) = 0，即 xt = 0，而没有 = 0。所以残差和等于零不一定成立。可决系数R 2有时会得负
11、值！原因是有时会有SSESST。为维持SSE+SSR=SST，迫使SSR0。 (7) 改变变量的测量单位可能会引起回归系数值的改变，但不会影响t值。即不会影响统计检验结果。以一元回归模型的估计公式为例说明之。= t = = (8) 回归模型给出估计结果后，首先应进行F检验。F检验是对模型整体回归显著性的检验。 (检验一次， H0: b1= b2 = = bk-1 = 0; H1: bj不全为零。)若F检验结果能拒绝原假设，应进一步作t检验（检验k次，H 0：bj = 0, (j = 1, 2, , k-1), H 1：bj 0）。t检验是对单个解释变量的回归显著性的检验。若回归系数估计值未通过t检验，则相应解释变量应从模型中剔除。剔除该解释变量后应重新回归。按经济理论选择的变量剔出时要慎重。(9) 在作F与t检验时，不要把自
