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1、 平面向量在中学数学问题解决中的应用研究 目 录摘要1引言3一、高中数学中的向量内容5一高中数学教科书中向量内容的设定51.向量的相关概念52.向量的运算53.实数积与矢量积64.向量运算的坐标表示65.向量的数量积及运算律66.向量数量积的坐标表示6二向量内容的教学要求6三高中生学习向量的必要性7二、平面向量在高中数学问题解决中的应用8一平面向量在平面几何问题解决中的应用及教学策略81.线段相等和垂直的向量法证明82.三点共线的向量法证明93.点分线段比值的向量法解答104.三线共点的向量法证明105.求角度的向量法证明11二平面向量在函数、等式与不等式问题解决中的应用及教学策略121.向量
2、在函数问题解决中的应用122.向量在等式问题解决中的应用15三平面向量在数列问题解决中的应用及教学策略16四平面向量在三角函数问题解决中的应用及教学策略17五平面向量在平面解析几何问题中的应用及教学策略20三、对平面向量教学的几点建议23一注重物理背景23二注重与数的运算类比23三注重几何意义23四注重多种表示方法的类比23结束语25参考文献26致 谢27平面向量在中学数学问题解决中的应用研究摘要：向量具有几何形式与代数形式的“双重身份，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具。?普通高中数学课程标准?对其教学要求为重根底，突出向量作为工具的作用。本文在阐述向量历史的根底上，对高
3、中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题，列举应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论。主要有以下几局部：第1局部，首先对高中数学教科书中的向量内容的设定作出分析，并结合?普通高中数学课程标准?对高中向量局部的教学要求提出相应的教学策略。第2局部，重点是把平面向量作为解题工具，对高中数学中较难解决的各类题型进行分类，并提出向量解题方法。主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。第3局部，学生在应用向量知识来解决遇到的问题时，应注意在教学中强化向量的工具性，抓住学生培养实践能力和创新精神的黄金时机，帮助学生树立向量
4、的应用意识。最后，提出教师要辩证地看待向量在数学问题解决中的价值所在，在了解向量作为数学问题解决的一种工具的同时，也不能无视其不适用之处。关键词：平面向量 解决问题 向量应用Abstract: Vector has both Geometrical form and Algebra form . It is a joint of mathematics knowledge in the middle school ,It is also a Important tool in solving mathematical problems. According to the ordinary hi
5、gh school maths course standard.We should base on its teaching requirements,and outstand vector as a tool.Based on elaborating vector history,I analyzed the vector of high school math textbook,Using the vector just as mathematical tools to solve mathematics problems in teaching and list the examples
6、 that solve problems by vector in teaching process,and have a classification discussion.Contents of each part as follows:Chapter1,Introduce to analysis the set about vector in the ordinary high school math textbook,and according to the high school math course standard,I correspond the teaching strat
7、egy to the part of the teaching requirement of high school vector.Chapter2,the key is to put plane vector as solving tools，classify the difficult problems to solve all kinds of questions,and put forward the solving methods.Mainly about vectors applications in plane geometry, and function,equality an
8、d inequality sequence,triangle function,graphic analytic.How to solve the mathematical problems in teaching.Chapter3，Students in the application of knowledge to solve problems, we should pay attention to vector tool, take training students practical ability and creative spirit of the golden opportun
9、ity, help students to establish the awareness of the application of vector.Finally,a teacher must think dialectically about the worth in understanding vector as a mathematical problem solving tools，but also cannot ignore its unapplicable place.Keywords:Plane vector, Solve the problem, Vector applica
10、tion引言目前，向量是高中数学中的根本概念之一，在代数、解析几何、平面几何等学科中各种理论都以向量为根底。现代物理关于向量的应用更为广泛，利用向量可以简化和解决许多思想和方法，到达快速解题的目的。向量知识可以解决初中平面几何中的大局部证明题，这些题如果用常规的方法去解决对于初中生来说会显得很难，但利用向量去解决就显得比拟容易。向量主要以概念、公式、定理等的形式出现，教科书中表达向量的一般形式是进行相关运算，一般教师普遍认为向量内容教起来简单，学生也容易学。在这一章节中的教学，大局部教师采用“记公式，多练习的教学形式，大都无视了概念、公式、定理、法那么的形成过程，一般不重视课后的阅读材料、实习
11、作业、研究性课题的教学。经过调查说明学生更愿意使用向量法，这是因为对于一些立体几何问题，常常要求学生判断点、线、面的位置关系，进行角与距离的计算，如果用传统的解法，需要从公理、公式、定理开始使用“形到形的演绎、归纳推理，会很繁琐，再加上有些空间图形的复杂性，解题的技巧性大，随机性强，而计算又主要是构造三角形等，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解，需要对图形进行平移、投影等各种转化，而且不同的问题需要不同的技巧，甚至需要大量的辅助线，缺少统一的求解方法;而向量的方法那么不同，向量具有几何形式和代数形式的“双重身份，其根本要求是能快捷地建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，或用向量中的定理、性质通
12、过计算解决问题，且有一定的通法，使解题程序化，增加了可操作性，使空间想象能力差点儿的学生，也不会感到立体几何那么遥不可及了。另外，利用向量解决问题是高考必考的知识点。回忆近几年的高考题，有关向量内容的考察涉及的面广，其中纯粹向量知识的考题所占比例也不少，应在高中数学中重视向量应用教学，这样学生做起题来就能够得心应手轻松自如。近年来，高考命题表达了向量考查的三个层次。第一层次:主要考查平面向量的性质和运算法那么，以及根本运算技能。要求学生掌握平面向量的和、差、数乘和向量的数量积以及运算法那么，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算。第二层次: 考查向量的坐标表示，向量的线性运算。第三层次:和其
13、他数学内容结合在一起，考查逻辑推理运算能力等综合运用数学知识，如可以和曲线，数列等根底知识结合，解决问题的能力，应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机的地结合在一起，能为多角度的展开解题思路提供广阔的空间，题目对根底知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完成解答，那么需要严密的逻辑推理和准确的计算。综上所述，向量减少了学生学习论证、度量问题的难度，使高中数学中“数形结合理论得到新的解析和提升，在为高中数学贯彻“数形结合的教学理念提供新的思路。向量是数学解决问题中不可或缺的工具，应更进一步标准和加强高中数学中向量应用的教与学。 向量是高中数学中有着代数和几何双重性质的重要内
14、容。向量是“数、量和运算形式不断开展的表现，也是高考必考的知识点。高中数学新增加的向量知识，有助于沟通几何与代数之间的联系，为解决中学数学中常见的问题，提供了新的思想和方法。运用向量工具可将几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使数学问题的解决更加简洁、清晰。现行高中数学教科书中向量的教学内容重在根底知识，对于向量的应用提的却相对较少。一方面，高中新教科书没有摆脱旧教科书的束缚，有很多数学问题用向量的方法解决更简单，但却没有利用向量工具来研究;另一方面，很多中学数学教师，头脑里传统的解题方法已成为思维定势，不习惯或防止用向量来解决问题。尤其在解决一些立体几何问题时，需要较强的逻辑思维能力和
15、较高的技巧性，把向量应用于立体几何问题解决会简便而顺畅。鉴于这两点，本文将重点探讨平面向量在数学问题解决中的应用。一、高中数学中的向量内容一高中数学教科书中向量内容的设定从2003年开始把向量作为高中数学学习内容之一，其中安排的内容概括起来包括以下内容:在高中阶段，我们暂且把具有大小和方向的量称为向量。向量是区别于数量的一种量，它是既有大小，又有方向的量，向量是用有向线段来表示，有向线段是向量“形的表示形式.向量的模、向量的大小，即是表示向量的有向线段的长度。向量的模记为。向量的模是数量,向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小。模为0的向量是零向量，记为0，它的方向是任意的。单位向量是模为1的向量。方向相同或相反的非零向量是平行向量,也叫共线向量。零向量与任何向量共线。模相等且方向相同的向量是相等的向量。任何两个单位向量不一定是相等的向量。运算向量求和的三角形法那么:向量a，b(如图2-1)，在平面上任取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，那么向量AC叫做a和b的和(或和向量)，记作a+ b，即a+b=AB+BC=AC。CBACBADaabbab 图2-1
