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1、定积分的近似计算方法摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法，例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求 积公式等近似计算方法，在用这些方法计算定积分时，会产生一些误差，为了减少误差，可以利用复化求 积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法，系统介绍它们的计算公式以及截断误差，并用例题分析它们 产生误差的大小、计算量等.关键词 插值型积分龙贝格积分高斯积分误差分析近似计算1引言在计算定积分的值1bf(x)dx时，常常根据微积分学基本定理求出f (x)的一个原函a数F(x)，再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,I = J bf (x)dx = F(b)-F(a).但在实际应用中,a这种方法只限
2、于解决一小部分定积分的求值问题当函数没有具体表达式，只是一些实验测得 数据形成的表格或图形或者是F (x)无法用初等函数表示，例如Jb ex2dx，Jb sin x 2 dx等等，这 aa就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上，找到简单函数9 (x)来近似代替 f( X)，且n p(对必的值容易求的.这样就把计算复杂的(对必转化为求简单的积分值aanp(x)dx .因此，定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题a2常见数值方法2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最
3、常用、最基本的方法具体做法是:给定区间a b止一组节点a = x xi b，以及节点处函数f ( x ) (j0，1，2作f (x)的n次拉格朗日多项式i9 (x)=才 f (x )l (x)ni ii=07/、(x - x )L(x - x )(x - x )L(x - x )其中，将插值公式l (x) =0i-1+n -i(x - x )L(x - x )(x - x )L(x - x )i 0ii-1ii+1i n其中上式积分得若记f (x) =9 (x) +nf( n+1)点)(n +1)!(x)n+1 (x )= X x 助(x x ) 乂 Lx -)x (, g g a, b,依赖
4、于变量 x , n+1012nJb f (x)dx = Jb 9 (x)dx + Jbf3 (x)dxaa na (n +1)! n+1=Jb 工 f (x )l (x )dx + fbai i ia (n +1)!(n+1)i=0=X f (x )b Jbl (x)dx + Jbf3(x)dxi=01a (n + 1)! (n+1)A = J bl (x)dx,(i = 0,1,2,. n) i a b f (n+1) (g )-3 (x) dxa (n + 1)!n+1R f = J(1)则有J bf (x)dx =a工 Af (x) + R f i ii=0称式(3)为插值求型公式，其中
5、A(i = 0,1,2,. n)与f (x)无关,叫求积系数，x.为求积节点,iiR f 为求积公式余项，其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点x,x1分别选取区间端点a,b时，由式(3)分别求出求积系数A =Jb4x = JbFx = 口0 a x 一 xa a 一 b20 1 ,x 一 x 丁0- dx =x 一 x1 0x 一 a , dx =b 一 ab a从而的求积公式J bf (x )dx沁f a( +) f b (.)a2称求积公式(4)为梯形求积公式，简称梯形公式.2梯形公式截断误差：Rf = -(b 一； f匕*), E * e a b 3梯形求
6、积公式的代数精度:1当f (x)二1时，式(5)中Jb 1dx = b - a =ab 一 a (x +1) = b - a . 2（。）+7 f（b）+32 瓦f（ x4 k）k -1其中+12f (x ) + 3正 f (x ) +14 艺 f (x ) = C4 k - 24 k-14 kN4 k - 24 k-14 kNk=1k =1k =17 b 一 ah =b 一a”一丄h n4m Lt 1 IVf Q k(17)其截断误差为Rf, C 二2（b -a）h6f（6）（n）,（a nb）.n 9452.1.7变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单，也达到了提高精度的目的，但为了满
7、足精度要求必须顾及误差，利用误差公式往往很困难，因为误差表达式中含有未知函数的导数，而估计各阶导数的最大值不太容易我们可以采取把积分的区间a，b细分的办法，在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计，如此继续,直到相邻两次结果相差不大，取最小的步长算出 的结果为积分值，这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例，把区间a，b分成n等分,设复化梯形公式的近似值为T，原积分值n为I，由复化梯形公式误差公式（14）知:)2广叫)(a n1 b)再把区间a，b分成2n等分，得近似值T，则2 nb a b a-1T (页)2 f (n2)(a n2 b)假定八X）在a，b上变化不大，既有f 0）f g） I - T ,由上式得于是沁4I - T2 k1 1(18)I 沁 T + (T - T )二 T +(T - T )
