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1、双曲线定义、标准方程、几何性质及其应用一、双曲线主要知识点（一）定义：平面内与两个定点仟、代的距离的差的缎吋便等于常数2d （小于|打FJ）的动点M的轨迹叫 做双曲线.注意：2。|片&|这一条件不可缺少。若则动点的轨迹是两条射线：若2r/|F1F2|,则无轨迹。若|M可|M可时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支， 又若|M可|M鬥|时，轨迹为双曲线的另一支。（二）标准方程及几何性质标准 方程0)d- b 若渐近线方程为y = Lx -1 = Q =双曲线可设为二 =九a a b（TIfFT3若双曲线与4-4 = 1有公共渐近线，可设为二-匚=九（X0,焦点在x轴上，入0,焦点在y轴4.等轴 C
2、T b（C b (a0少0 )y简图z .oAXX 几何 性 质焦点坐标坊(c,O),骂(c,0)片(O,c),第(O,c)顶点A(-c/,o), 4仏0)A(O,-d), A,(O,6f)范 Wx $ a , y e Ry, x eR准线ax = ccry=T渐近线方程.b = -Vay=bx焦点到渐 近线距离bb通经长2/7 -a2b2a离心率e=e(l，S e=a=再222”2Q焦点二角形 P/萨:cos 6 一 一1一(2)=/?2.cot-(PFe)2胚陋2（三）双曲线方程与渐近线方程的关系nrJ11.若双曲线方程为（一二=1=渐近线方程：二一匚=00 y = -x.cr /?cr
3、ba双曲线：r-y:=a:有如下性质：渐近线y = x：离心率等于血二. 典型例题例1.根据下列条件，求双曲线方程：2 2与双曲线+ -話=1有共同的渐近线，且过点（-3,23）； 2 2（2）与双曲线- = 1有公共焦点，且过点（3/2,2）； 164/（3）以椭圆+ y = 1的长轴端点为焦点，且过点P（4jl,3）； （4）经过点 一,3 ,且一条渐近线方程为4x+3y = 0； i 41（5）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为JT,且过点（4,-VIo）.例2解答下列问题:LP是双曲线工一疋=1的右支上一点,Ms N分别是圆（x + 5）2 + y2=4和（x 5） + y =
4、1上的点,则|PM| 916-|PN|的最大值为（）A. 6B.7C.8D.92 22.P为双曲线二-22 = 1上一点,仟为一个焦点，以PF、为直径的圆F + y2 =爪的位置关系为（） CT 快A.内切 B 外切C内切或外切 D 无公共点或相交.3. 若双曲线x2-y2 = 1右支上一点P（a,b）到直线y = x的距离为血，则a + b的值是（）。A-B.-C一丄或丄D.2或一22 2 2 24. 以双曲线二丄二=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）916A.x2 + y2-10x+9 = 0 B.xz + y2-10x+16 = 0 C.x2 + y2 +10x+16 =
5、 0 D.x2 + y2+ 10x + 9 = 0 如图，久和化分别是双曲线二丄= 1（g0上0）的两个焦点，4和B是 （T /?0为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A./3B.V5 C. VE D.1+V326.设P为双曲线疋_g = i上的一点，斥，厶是该双曲线的两个焦点，若|PfJ:|P&|=3】2,则APf；耳 的面积为（）A. 6孙 B. 12 C. 123D. 24Jr7设& 代分别是双曲线二一厶=1的左、右焦点，若双曲线上存在点4,使且鮎二3|肚|,贝ij/ 双曲线的离心率为（）A.B. VwC.22V15D. y/s2三、巩
6、固练习1双曲线二=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是A.2B.V3C.VID.1222若keR,则“3”是“方程严2-一 * 一1表示双曲线”的k_3k+3A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充要条件；D.既不充分也不必要条件.3过双曲线= 1的左顶点A作斜率为1的直线匚若/与双曲线M的两条渐近线分别相交于 b2BC,且|AB|二|BC|,则双曲线M的离心率是（）A.V10B./5 C. VTo D迈324*44己知双曲线1-4=1的一条渐近线方程为v = -x则双曲线的离心率（）（C b34 - .3B.5己知双曲线=的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右
7、支有且只有一a b个交点，则此双曲线离心率的取值范闱是（）A.（l,2B.（l,2）C2,-kx）D.（2, + 8）22兀6己知双曲线二二=1（。 JI）的两条渐近线的夹角为丁，则双曲线的离心率为（）cr 23A.21 27如果双曲线的两个焦点分别为（-3,0）,只（3,0）,条渐近线方程为y = V2%,那么，_是（）cA.6V3B.4C.2&已知是双曲线三一才=1的离心率二2,则弐匚（）m 3CA.2 B.lC.lD.丄2 29 设匚斤是双曲线-y2=l的两个焦点庶P在双曲线上且满足90S则APFf的面枳为（） 4A.l B.1C.2D.V5210.已知方程+_ =1的图彖是双曲线，则加
8、的取值范围是（）。2 - m m 1A./? 2 C.lm 2D.w 211己知双曲线9y2-m2x2=Km0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为丄 则加=（）5A1B2C3D412.双曲线4-tv = 1（do, b0）的左、右焦点分别是心F过片作倾斜角为3（r的直线交双曲线右 CT 支于M点，若垂直于x轴,则双曲线的离心率为（A. a/6B. *C. y/213.r1与曲线务+备“共焦点,Jh而与曲线p詁】共渐近线的双曲线方程为（）A.r16916916u91614. 如果双曲线- = 1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（）42A.半 B.半C. 2/6D. 2/3
9、15. 已知双曲线C牛一話=1的左右焦点分别为斥,耳，P为C的右支上一点，且PF2 = F2,则zP眶的 面积等于（）A. 24B. 36C. 48D. 96ThTJ% V）r16. 连接双曲线=1与二-匚=1的四个顶点构成的四边形的面枳为弘 连接它们的的四个焦点构成的四trZrcr边形的面枳为s“则9： &的最人值是 （）A211B1CD2417. 设椭圆C：的离心率为看,焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线G上的点到椭圆G的两个焦点的距离的差的 绝对值等于8,则曲线C：的标准方程为（）亍，1JO1x y .xy,x)厂txy.A-； = 1B；= 1C；=1D；:=1423213252324
10、2132122二、填空题17. 如果双曲线_/=1 一点P到焦点F的距离等于17,则点P到另一个焦点F,的距离.64 362 218. 若曲线_二+二 =1表示双曲线，则R的取值范围是.4+k l-k19. 已知双曲线二其=10少0)的两条渐近线方程为y = X,若顶点到渐近线的距离为1,则双CT3曲线方程为.JJL V*20. 过双曲线- = 1的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,916则AAPB的面枳为。21. 方程 + = 1所表示的曲线为c,有下列命题：若曲线c为椭圆，则2r4或/4o以上命题正确的是o (填上所有正确命题的序号)22. 与圆(
11、x+3)2 += 1及圆(x-3)2 + r = 9都外切的圆的圆心轨迹方程为23 设圆过双曲线一-匚=1的一个顶点和一个焦就圆心在此双曲线上贝J圆心到双曲线中心的距离为916cr 924 双曲线两条渐进线方程为4x3y = 0f且一=三,则双曲线方程为c 525. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是26. 已知片、F、是双曲线4-4 = 1( 0,b 0)的两焦点,以线段F戸为边作正三角形AM片斤，若边Mf；的中(C点在双曲线上，则双曲线的离心率是27. 过双曲线1_4 = 1(0,/70)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.三、解答题28. 已知：双曲线x2-y2=a2 0)与直线y=x交于A、B,且AB = 2y5 ,求a的值。29. 己知Fi、珀是双曲线話-寻的左、右两个焦点，P是双曲线右支上的一点，若PFi丄PF：,求厶PFiF：的 面枳和P点的坐标。
