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1、2.1.1有限元法基本原理(Basic Theory of FEM)有限元法的基本思想是离散的概念，它是指假设把弹性连续体分割成数目有 限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。根据物体的几何形状特征、载 荷特征、边界约束特征等，选择合适的单元类型。这样组成有限的单元集合体并 引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的 有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体2425。有限元法从选择基本未知量的角度来看，可分为三类：位移法、力法和混合 法。以节点位移为基本未知量的求解方法称为位移法；以节点力为基本未知量的 求解方法称为力法；一部分以节点位移，另一部分以
2、节点力作为基本未知量的求 解方法称为混合法。由于位移法通用性强，计算机程序处理简单、方便，成为应 用最广泛的一种方法26。有限元法的求解过程简单、方法成熟、计算工作量大，特别适合于计算机计 算。再加上它有成熟的大型软件系统支持，避免了人工在连续体上求分析解的数 学困难，使其成为一种非常受欢迎的、应用极广泛的数值计算方法27。2.1.2有限元法基本步骤(Basic Process of FEM)有限元法求解各种问题一般遵循以下的分析过程和步骤2829：1. 结构的离散化 结构的离散化是进行有限元法分析的第一步，它是有限元法计算的基础。将 结构近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成
3、的计算模型， 习惯上称为有限元网格划分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起 来，而单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和 计算精度而定。所以有限元法分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同种 材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获 得的结果是近似的。显然，单元越小(网格越密)则离散域的近似程度越好，计 算结果也越精确，但计算量将增大，因此结构的离散化是有限元法的核心技术之 一。有限元离散过程中又一重要环节是单元类型的选择，这应根据被分析结构的 几何形状特点、载荷、约束等因素全面考虑。2. 位移模式的选择位移模式是表示单元内任
4、意点的位移随位置变化的函数，位移模式的选择是 有限元特性分析的第一步。由于多项式的数学运算比较简单、易于处理，所以通 常是选用多项式作为位移函数。选择合适的位移函数是有限元分析的关键，它将 决定有限元解的性质与近似程度。位移函数的选择一般遵循以下原则(有限元解 的收敛条件)：（1）单元内部位移函数的连续性和相邻单元公共边界上的位移协调。（2）刚体运动准则，位移函数能反映单元的刚体位移状态。（3）常应变准则，位移函数能反映单元的常应变状态。3. 单元的力学特性分析单元的力学特性分析主要包括以下三部分内容：（1）通过几何方程建立单元应变与节点位移的关系式；（2）利用物理方程导出单元应力与节点位移的
5、关系式；（3）由虚功原理推出作用于单元上的节点力与节点位移之间的关系式，及 单元的刚度方程。4. 计算等效应力分析对象经过离散化以后，单元之间仅通过节点进行力的传递。但实际上力 是从单元的公共边界上传递的，因此，必须把作用在单元边界上的表面力，以及 作用在单元上的体积力、集中力等，根据静力等效的原则全都移置到节点上，移 置后的力成为等效节点力。5. 建立整体结构的平衡方程建立整体结构的平衡方程也叫做结构的整体分析，实际上就是把所有单元的 刚度矩阵集合成一个整体刚度矩阵，同时将作用于各单元的等效节点力向量组集 成整体结构的节点载荷向量。从单元到整体的组集过程主要依据两点：一是所有 相邻单元在公共
6、节点处的位移相等；二是所有各节点必须满足平衡方程。通常， 组集整体刚度矩阵采用直接刚度法，即按节点编号对号入座，直接利用单元刚度 矩阵中的刚度系数子阵进行叠加。6. 求解节点位移及单元应力 引入边界约束条件，对所建的平衡方程加以修正后就可求出节点位移。节点 位移求出以后，根据需要，可由弹性力学的几何方程和弹性方程来计算应变和应 力。综上，应用有限元法对控制开关箱体进行分析的基本思路是：“先分后合”。 即将控制开关箱体离散成空间壳单元及空间梁单元，对这些单元分别进行结构分 析，然后采用位移法，根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其 含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，再应用弹性力学中的几何方程和 物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。接着将单元刚度矩阵进 行坐标变换，叠加组成整体刚度矩阵，利用结构力的平衡条件和边界条件把各个 单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程K5 = F（2-1）式中 K 整体结构的刚度矩阵；8 节点位移列阵；F 节载荷列阵。
