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1、导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义1.函数的平均变化率：函数f (x) 在区间 x1, x2 上的平均变化率为：f (x2 )f ( x1 ) 。x2x12.导数的定义：设函数yf ( x) 在区间 (a, b) 上有定义， x0(a, b) ，若x 无限趋近于 0 时，比值yf (x0x) f ( x0 )无限趋近于一个常数A，则称函数 f (x) 在 xx0 处可导，并称该常数 A为函数 f (x) 在xxx x0 处的导数，记作f ( x0 ) 。函数 f ( x) 在 xx0 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1 ）求函数的增量y f ( x0
2、x)f ( x0 ) ；（ 2 ）求平均变化率：f ( x0x)f ( x0 ) ；（ 3）取极限，当x 无限趋近与 0时， f (x0x)f (x0 ) 无限趋近与一个常数A，则xxf (x0 ) A .4. 导数的几何意义：函数 f (x) 在 x x0 处的导数就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f ( x0 )处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（ 1）求出 y f ( x) 在 x0 处的导数，即为曲线y f ( x) 在点 ( x0 ,f ( x0 ) 处的切线的斜率；（ 2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0 f (x0
3、 )( x x0 ) 。当点 P(x0 , y0 ) 不在 y f ( x) 上时，求经过点P 的 y f ( x) 的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程， 再将 P 点的坐标代入确定切点。 特别地， 如果曲线 yf ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ) 处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x x0 。5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间 t 的函数 S(t ) ，则 VS (t ) 表示瞬时速度，a v (t) 表示瞬时加速度。二、导数的运算1. 常见函数的导数：（ 1） (kxb)k ( k,b 为常数 ) ；（2）C 0
4、(C为常数 )；（ 3） (x)1 ；（4） ( x2 )2x ；（ 5）32113 x ；（6） ( x )x2 ；(x )（ 7） ( x)1；（8） ( x)x 1 （ 为常数）；2x精选文库（ 9） (a x ) a x ln a(a 0,a1) ；（ 11） (ex )ex ；（ 13） (sin x)cosx ；2. 函数的和、差、积、商的导数：（ 1） f ( x)g( x)f (x)g ( x) ；（ 3） f ( x) g( x)f (x)g (x)f (x) g ( x) ;（10） (log a x)1 log a e1 ( a 0,a 1)；xxln a（12） (ln
5、 x)1；x（ 14） (cos x)sin x 。（ 2） Cf ( x)Cf ( x) （ C 为常数）；（ 4） f ( x) f ( x)g ( x)2f ( x) g (x) (g ( x) 0) 。g( x)g(x)3. 简单复合函数的导数：若 yf (u), uaxb ，则 yxyu ux ，即 yxyua 。三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导，（ 1）如果恒 f (x)0 ，则函数 yf ( x)在区间 (a,b) 上为增函数；（ 2）如果恒 f (x)0 ，则函数 yf ( x)在区间 (a
6、,b) 上为减函数；（ 3）如果恒 f (x)0 ，则函数 yf ( x)在区间 (a,b) 上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数yf ( x) 的定义域；求导数f (x) ；解不等式f ( x)0 ，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f (x)0 ，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来 ,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数 yf ( x) 在区间 (a,b) 内可导，(1)如果函数 yf (x) 在区间 ( a,b) 上为增函数 , 则 f ( x)0( 其中使 f (x)0 的 x 值不构成区间 ) ；(2)如果函数 y
7、f ( x) 在区间 (a,b) 上为减函数 , 则 f (x)0 ( 其中使 f (x)0 的 x 值不构成区间 ) ；(3)如果函数 yf ( x) 在区间 (a,b) 上为常数函数 , 则 f ( x)0 恒成立。2. 求函数的极值：设函数 yf (x) 在 x0 及其附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点都有f ( x)f ( x0 )（或 f ( x)f (x0 ) ），则称 f (x0 ) 是函数f ( x) 的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（ 1）确定函数 f ( x) 的定义域； （ 2）求导数 f ( x) ；（3）求方程 f
8、( x)0 的全部实根， x1x2 L xn ，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时， f(x) 和 f ( x) 值的变化情况：x( , x1 )x1( x1 , x2 )xn(xn ,)f (x)正负0正负0正负f (x)单调性单调性单调性（ 4）检查 f ( x) 的符号并由表格判断极值。3. 求函数的最大值与最小值：如果函数f ( x) 在定义域I 内存在 x0 ，使得对任意的xI ，总有 f (x)f ( x0 ) ，则称 f (x0 ) 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。-2精选文库求函数f ( x) 在区间 a, b
9、 上的最大值和最小值的步骤：（ 1）求 f ( x) 在区间 ( a, b) 上的极值；（ 2）将第一步中求得的极值与f (a ), f (b) 比较，得到f ( x) 在区间 a, b 上的最大值与最小值。4. 解决不等式的有关问题：（ 1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。f ( x)( xA) 的值域是 a, b 时，不等式f ( x)0 恒成立的充要条件是f ( x)max0 ，即 b0 ；不等式f ( x)0 恒成立的充要条件是f ( x) min0 ，即 a0 。f ( x)( xA) 的值域是 ( a, b) 时，不等式f (x)0 恒成立的充要条件是b0 ；不等式 f ( x)0 恒成立的充要条件是 a0 。（ 2 ） 证 明 不 等 式 f (x)0 可 转化 为 证 明 f ( x) max0 ， 或 利 用 函 数 f (x) 的 单 调 性 ， 转 化 为 证 明f ( x)f (x0 )0 。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。-3精选文库-4精选文库-5精选文库-6
