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1、以時間序列分析法偵測台灣一等二級水準網之殘留系統誤差Detecting Remained Systematic Errors In The First-Order Class Leveling Network of Taiwan By Using Time series指導教授：許榮欣學生：李明一前言時間序列（Time series），係指以時間順序型態出現之一連串觀測值集合，或更確切的說，對某動態系統（Dynamic System）隨時間連續觀察所產生有順序的觀測值集合。時間序列分析是一種數理統計的方法，它可以計算兩筆相近資料間的統計相關性，因此可用來判斷是否含有系統誤差。綜合上述，假如把時
2、間序列分析的概念帶入水準測量中，吾人可加以利用的數據包含有測段閉合差、測段長、坡度、往返施測時的氣溫及測段方位角等眾多數據 Vanicek, P. & Craymer, M.，1983。時間序列分析法一組觀測值，若沿著時間先後有順序地產生，則稱此組觀測值為一時間序列，而正整數N被稱為時間序列的長度葉小蓁，1998。任一時間序列均可延著時間軸作其對應的時間序列圖，如圖1。圖1 時間序列 葉小蓁，1998在一穩定隨機過程中，測度二個隨機變數與（為一整數）間其相隔一個固定期間或時間落後期之線性相依關係可由與之互變異數來闡釋，利用互變異數來測度任何一對隨機變數所存在之線性關係，吾人稱其為自我互變異數（
3、Autocovariance）。定義其數學式為 (1)式中，對所有值皆有相等性，此為平穩型隨機過程之特性林茂文，1992。接續式(1)自我互變異數的概念，定義隨機變數與在相隔期之自我相關係數（Autocorrelation at lag k），以表示，其數學式為 (2)其中平穩型隨機過程之特性為在時間與均具有相同的變異數林茂文，1992，而被稱為自我相關函數（Autocorrelation Function，ACF）。自我相關函數有如下之特性：葉小蓁，1998(1) (2) ，(3) 無單位(4) ，平穩型時間序列（Stationary Time Series）係指一個時間序列其統計特性將不隨
4、時間之變化而改變者，換言之，一個平穩型時間序列為一隨機過程之特殊實現值，且這種隨機過程之統計特性並不隨時間之變化而改變，即隨機過程需滿足以下三個條件：(1) (2) (3) 其中E表示期望值，var表示變異數，cov表示共變數，、及均為有限的固定參數Hsu,R,2002。依上述平穩型時間序列特性，則每個觀測值可以表示為諸個互相獨立且具有相同機率分配之隨機變數序列之線性組合，而這些隨機變數通常假設為常態分佈，其期望值為0，變異數為。因此，此種序列隨機變數稱為白色干擾過程（White Noise Process）。之線性組合可以表示為 (3)式中與為固定的參數值，稱為權數（Weight），通常設，
5、為決定過程之平均水準。若一個時間序列為平穩型，即此序列為對固定均值上下隨機波動，若時間序列為非平穩型，則可知該序列無固定平均值。一般而言，假若權數為有限（Finite）或無限且收斂（Infinite and Convergent）者，則可知此時間序列為對平均數之平穩型時間序列，假若為無限且發散者（Infinite and Divergent），則此數列為非平穩型時間序列 林茂文，1992 。將(3)式之係數以替換，並僅討論前q個非零之權數，即當時，。則 (4)式中亦稱為震動影響或記憶函數（Shock-Effect or Memory Function），表示震動將持續影響等個時期後消失。式(4
6、)稱為q階之移動平均過程（Moving Average Process of Order q，MA(q)）。MA(q)之自我相關函數經相關推導已得知在時間位差時不為零，而自落後q個時期始為零，即自我相關函數在時間位差q之後截斷（Cuts Off at Lag k）。林茂文，1992式(3)經相關推導可產生 (5)(5)式稱為p階自我迴歸過程（Autoregressive Process of Order p，AR(p)）。自我迴歸過程名稱之由來係將隨機過程中任一當期值（Current Value of the Process）視為迴歸模型中的應變數，而將前p期值視為自變數做一複迴歸，而自變數與
7、應變數來自同一隨機過程，因此而得自我迴歸之名葉小蓁，1998。對一真實性時間序列欲建立一經驗模式，吾人有時發現可以同時採用包含有自我迴歸與移動平均項，以推導出較僅有自我迴歸項或僅有移動平均項更貼近實際之模式。此種模式一般稱為(p,q)階混合自我迴歸與移動平均過程(Mixed Autoregressive-Moving Average Process of Order (p,q),ARMA(p,q)，其形式為 (6)前述所討論的AR、MA或ARMA模型，均為常用的平穩時間序列模型，然而在一般應用上，甚少為平穩的時間序列，多呈無固定水準之現象，此型資料即為非平穩時間序列。差分可被視為非平穩型時間序
8、列變為平穩型的一種轉換，有時在處理非平穩時間序列時，可考慮自然對數或開根號的轉換。但差分次數不宜過多，過度的差分將使資料喪失實際含意而不易解釋，且會使序列的變異數變大，一般實務上通常以目測原始序列圖形的方法，來判斷圖形是否已達平穩的狀態，差分次數至多不超出兩次葉小蓁，1998。一般而言，欲獲得非平穩型時間序列之模式，係假設原始序列經次差分後()可轉為平穩型時間序列，再以前述ARMA模式擬合，如此之模式稱為(p,d,q)階之整合自我迴歸移動平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model of Order (p,d,q)，ARIMA(p,d,
9、q)，其中p表示為自我迴歸過程之階數，d為差分次數，q表示為移動平均過程之階數。已知若某序列的SACF值呈極緩慢消失，以及序列圖不在一固定水準內擺動，則顯示此序列為非平穩型，吾人需先將此序列差分直至序列之SACF很快消失為止，此序列乃由經差分d次後達平穩，而此d值即為原始序列所需差分之次數，實務上通常葉小蓁，1998。若原始序列經判斷為平穩型，則由Bartlett公式可決定SACF(Sample Autocorrelation Function)於何處截斷，判定之模型MA(q)；若為一平穩的時間序列，由某一移動平均模型MA(q)產生，理論上，則對樣本的SACF，期差kq大之後的具以下兩個漸進性
10、質(Bartlett公式)：(1) N夠大時(N50)， (7) (2) 的漸進抽樣分配為常態 (8)由(7)式，被稱為SACF之大期差的標準誤差（Large-Lag Standard Error of ，）。利用Bartlett公式（式(7)及(8)）可利用統計檢定的方式鑑定模型MA(q)之q值葉小蓁，1998。模型為AR(p)，的時間序列，SACF會呈退化的指數形式或阻尼正弦函數的相似特徵，故不易由SACF來區分p值。為確定p值，吾人可利用偏自我相關係數（Partial Autocorrelations）來幫助判斷。由(5)式，將其改寫為 (9)其中被稱為之第k期差（k-th lag）的偏
11、自我相關係數，k=1,2,；而被稱為偏自我相關函數（Partial Autocorrelation Function，PACF）。由Cramers法則，可分別解：Faires, J. & Burden, R., 2003 ， (10)因每一為自我迴歸式AR(k)模型中，當已進入模型時，Xt-k與Xt之偏相關係數，又Xt-k與Xt來自同一序列，因此而得偏自我相關係數之名。葉小蓁，1998設有一組時間序列其模型尚未被確知，致使其理論的ACF及PACF均未知，故分別以樣本的及（Sample Partial Autocorrelation Function）估計理論值。欲鑑定單純的AR(p)模型，若僅
12、用SACF不夠，尚須考慮SPACF的顯著性以判定階數p；故在應用上以Quenouille的公式以求出SPACF，之截點；設為一平穩的時間序列，由某一自我迴歸模型AR(p)產生，其PACF理論值中，則對於樣本SPACF，中，期差k大於p之後的具有以下兩個漸進性質：(1) 當N夠大時（N50） ， 。(9)(2) 的漸近抽樣分配為 ， 。(10)由(9)式可知，被稱為SPACF之大期差的標準誤差（Large-Lag Standard Error of ）。依上所述，可以統計檢定的方式()逐步檢定之顯著性 葉小蓁，1998。將上述ACF與PACF的特徵合併，列為下表表一：表一ACFPACFMA(q)
13、截斷於q期之後成指數或阻尼正弦函數消失AR(p)成指數或阻尼正弦函數消失截斷於p期之後ARMA(p,q)成指數或阻尼正弦函數消失成指數或阻尼正弦函數消失臺灣一等水準網台灣地區於民國8991年間，以新型電子式精密水準儀施測一等水準網，共計有2065個一等水準點，分佈於4253公里之水準路線上，並同時進行GPS衛星定位測量與重力測量等工作，進而建立新的台灣高程基準(Taiwan Vertical Datum, TWVD2001)。一等一級水準網於民國89年12月至90年9月間完成總計1010個一等一級水準點之測量作業，水準路線涵蓋台灣本島外圍及中橫、南橫等路線，共1357條測線，全長總計約2052
14、公里。一等二級水準網一等二級水準測量需閉合或附合於一等一級水準點，於民國91年6月至91年12月完成總計1055個一等二級水準點之外業工作，水準路線主要分佈於台灣本島西部及北部，共1155條測段，全長總計約2200公里 蘇哲民，2003。圖一 一等水準路線圖蘇哲民，2003無論是一等一級或一等二級水準網，其作業皆須符合內政部於民國90年2月修正公布之一等水準測量作業規範。實驗與成果2002年測設的台灣一等二級水準網共有86條測線，1155個測段，以K999水準點視為一穩定之高程參考點，如圖一。其中，部分測段因經系統誤差改正後蘇哲民，2003測段之往返閉合差或有超過規範值（2.5mmK）之情事，故其閉合差值並無顯示列出，因此本次實驗將此部分測段排除不計。本實驗考慮眾多因素作時間序列分析，惟因其實驗過程類似，今僅以依測段長短作排序視為時間序列的時間軸，各測段閉合差視為當期觀測值為例詳加介紹，其餘僅列出其實驗結果，過程不再累述。依測段長短作排序視為時間序列的時間軸，各測段閉合差視為當期觀測值，繪製時間序列圖，如圖二。圖二 依測段長短排序由圖二，閉合差值似有隨著橫軸數值增加的趨勢，即序列圖不在一固定水準內擺動，由目測的方式判斷其尚為
