数列在生活中的应用

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1、河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（ 2012 届 ）题 目：数列在生活中的应用系 另I：数学系专 业：数学与应用数学班 级：三 班作者姓名：王海静 学号： 2008511915指导教师： 张金莲 职称:副教授学历:本科论文成绩：2012 年 5 月数列在生活中的应用摘要：数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活 中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中 的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知 识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一 个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算

2、同社会经济、资源生活有着紧密 的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算， 趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：数列应用 分期付款 资源利用Mathematics is a source from life and for life science, mathematics study is the ancient human society is an indispensable part of life. Sequence calculation is in mathematics learning is a very impor

3、tant branch, and as the series of the study and calculation of the social and economic life, resources are closely linked, which makes the series research attention enthusiasm to upsurge gradually, together with the flexible calculation, interesting problems, makes for the series of research by more

4、 and more attention.Key words: application of series installment resource utilization1,引言数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域，在解决投资分配、 汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列 广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况 2，主要内容 第一章：等差等比数列在生活中的应用一、等差数列的应用题涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后用其通项公式和前n项和公式，并借助不等式的性质解决问题。例 1 假设某市 2005 年新建

5、住房面积 400 平方米，其中有 250 平方米是中低 价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%， 加 50 万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建的中低价房的累计面积（以 2500年累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？解；设中低价房面积构成数列an,由题意知an是等差数列，其中a1=250, d=50，则Sn=250n+n（n-l）/2 X 50=25n2+225n令 25n2+225n4750，即 n2+9n-l900解得nlO，或nW-19 （含去）故到 2014 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平 方米。二、等比

6、数列的应用题在解决等比数列与应用问题时，首先应明确是解决第n项的问题，还是解决 前n项和的问题，然后运用等比数列的性质解决有关问题。A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍 数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着 掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为pn,求pn的表达式（用n 表示）解：由题意可知，第n次由A掷有两种情况：第n-1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为(12/36) Pn-1= (1/3) P n-1，第n-1次由B掷,第 n 次由 A 掷，此时概率为1- (12/36) (1- Pn-1) = (2/3) (1

7、- Pn-1)。由于这两种情况是互斥的，因此所以数列Pn- (1/2) 是以P1- (1/2) = (1/2) 为首项，-(1/3)为公比的等比数列，于是Pn- (1/2) = (1/2) . (-1/3) n-1，即：Pn= (1/2) + (1/2) . (-1/3) n-1三、递推数列的应用处理递推数列的应用题时，应先抓住第n项与第n-1项之间的联系去构建递 推关系，再根据题议要求去解决问题。例3,某公司全年纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金 分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由 1 至n排序，第一位职工得奖金b/n元，然后再将余额以n发给第

8、2位职工，按此 方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发燕尾服基金。(1) 设ak (1WkWn)为第k位职工所得奖所金额，试求a2，a3，并用k,n 和b表示ak (不必证明)(2) 证明akak+1 (k=1,2n-1)并解释此不等式关于分配原则的实际 意义。(3) 发展基金与n和b有关，记为Pn (b)，对常数b，当n变化时，求Pn ( b)解：(1)第1位职工的奖金a1=b/n第2 位职工的奖金 a2=(1/n)1-(1/n)b，第3位职工的奖金a3= (1/n) 1- (1/n) 2b, 第k位职工的奖金ak= (1/n) 1- (1/n) k-1b, 例1：在植物组织

9、培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分 裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。那么，1小时后, 这种细胞会增加到多少个？解析：这是生物学上的一个比较常见的问题(细菌的分裂已是 如此)。应用数列知识我们很快就会求得。显然，a1 = 2，q=2，n=4，那么 a4 = a1 Xqn-1=2X23=16 (个)一单利与复利计算方式与数列 在分期付款和银行存款储蓄中，数列主要是用于利息的 计算，根据单利与复利的不同，建立等差数列或者等比数列的 模型。在单利计算中，若本金为a元。每期利率为P，利息与本 息和可按期数排成剪列；第一期末：利息ax P，本息和aX(l+ p)

10、；第二期末：利息gx 2p，本息和ax(l+2p)；第三期末：利息 aX3p，本息和ax(1+3p)；第n期末：利息axnp，本息和aX (1+np)。由此可知，在单利的计算中，利息与本息和都是公差 为印的等差数列。在复利的计算中，假设本金为a元，每期利率为P，利息 与本息和可按期数排成数列：第一期末：利息axP，本息和ax (1+p)；第二期末：利息ax(l+p)。P，本息和aX (1+p)2；第三期 末：利息ax(1+p)2XP，本息和ax(l+p).-第n期末：利息 aX (1+p) “XP。本息和ax(l+p)I.由此可知，在复利的计算中，利息与本息和都是公比为(1+p)的等比数列。二

11、 例述数列在生活中的应用 数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影 响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例：某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首 b 先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金一元,n然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部 分作为公司发展基金.(1)设ak(1WkWn)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明akak+1(k=1,2,n 1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；b1

12、16解：(1)第1位职工的奖金a产-，第2位职工的奖金a2=-(1 -)b，第3位职工的奖1 n2 n n金a3=丄(1-丄)2,第k位职工的奖金a= (1丄)k-1-;3 n nk n n(2)akak+1=(1 丄)k-1-0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭” kk+1 n 2n的原则.设f(-)表示奖金发给第k位职工后所剩余数，则f1(-)=(1n)-f2(-)=(1n)2-fk(-)=(1 - n 网得 pn(-)=fn(-)=(1 - n)也b故 lim P (-) = - nx ne例 2 ：在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约 为 200

13、人，且第一天购买甲种蔬菜的第二天会有 20% 购买乙种蔬菜，第一天购买 乙种蔬菜的第二天会有 30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两 种蔬菜的进货量。解决方案:设第n天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为An、Bn,贝V：An+1=0.8An+0.3Bn;Bn+1=0.2An+0.7Bn;由于 An+Bn=200，则可推算得 An+1=0.8An+0.3 ( 200-An )=60+0.5An；则 An+1-120=0.5 （ An-120 ）；可得，An-120是以A1-120为首项，0.5为公比的等比数列；假设，第一天购买甲种蔬菜的有a人，则An=0.5人（n-1） * （a-120

14、） +120当n趋近于无穷时，易得，An趋近于120且与a的值无关。则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在 120 人，购买一种蔬菜的人数稳定在80 人。上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际 问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。 三数列在银行存款储蓄中的应用 银行存款储蓄业务分活期储蓄和定期储蓄，活期储蓄是 指不确定存期，随时可以存取款且存取金额不限的一种储蓄 方式。定期储蓄是在存款时约定存期，一次或按期分次存入 本金，整笔或分期、分次支取本金或利息的一种储蓄方式。定 期储蓄可分为以下几种类型：整存整取、零存整取、整存零取、 存本取息、定活两便和通知存款，其存取

15、方式因类型不同而有 区别。实际生活用的最多的是活期储蓄、整存整取、零存整取 方式。银行存款储蓄业务都按单利计算利息。 在活期储蓄中，每月按30天，每年按360天，以具体天数计 算利息，计单利。例如王某以活期储蓄形式存入银行5000元， 年利率为3，存期为5个月，则王某所得利息计算公式为：本 金x年利率X存期天数三360，利息计62. 5元，本息和为5062. 5元。 整存整取是指约定存期，整笔存入，到期一次支取本息的 一种储蓄，利息计笄方式与活期储蓄相似，在约定存期到期后利息计算方式为本金X约定年利率X约定月数-4-12个月。零存整取与活期储蓄和整存整取业务不同，它不是一次 性存入，而是在按期分次存入本金，到期一次支取本息。该业 务中每期存入间隔时间相同、金额相同的款项成为年金，利息 依然是以单利计算。例如某人计划每月一日存入银行1000 元，若年利率为2，一年后他本息共计多少元?在不清楚银 行零存整取计算公式的情况下，可用数列知识计算此人到期 时的本息和。第一次存入的1000元到期时的利息为1000X 2%： 第二次存入的1000元到期时的利息为1000x 2%X11+12 ；第 三次存入的1000元到期时的利息为1000x 2%X10+.12第 十二次存入的1000元到