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1、2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)后二位 校验码号 码考生注意：1. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2. 本试卷共有23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.一. 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 计算：_.2. 设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则_.3. 若，则_.4. 已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c. 若，则角C的大小是_（结果用反三角函数值表示）.
2、5. 设常数. 若的二项展开式中项的系数为，则_.6. 方程的实数解为_.7. 在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为_.8. 盒子中装有编号为的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_（结果用最简分数表示）.9. 设AB是椭圆的长轴，点C在上，且. 若，则的两个焦点之间的距离为_.10. 设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差_.11. 若，则_.12. 设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，. 若对一切成立，则a的取值范围为_.yxO11123 4第13题图13. 在平面上，将两个半圆弧（）和（）、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分
3、. 记D绕y轴旋转一周而成的几何体为. 过（）作的水平截面，所得截面面积为. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_.14. 对区间上有定义的函数，记. 已知定义域为的函数有反函数，且，. 若方程有解，则_.二. 选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.15. 设常数，集合，. 若，则a的取值范围为（ ）.(A)(B)(C)(D)16. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）.(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分
4、又非必要条件17. 在数列中，. 若一个行列的矩阵的第行第列的元素（；），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）.(A)18(B)28(C)48(D)6318. 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、. 若m、M分别为的最小值、最大值，其中，则m、M满足（ ）.(A)，(B)，(C)，(D)，三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.BAABDDCC第19题图19. （本题满分12分）如图，在长方体中，. 证明直线平行于平面，并求直线到平面的距离.2
5、0. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每一小时可获得的利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其中常数.(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像. 区间（，且）满足：在上至少含有30个零点. 在所有满足上述条件的
6、中，求的最小值.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.如图，已知双曲线，曲线. 是平面内一点，若存在过点P的直线与、都有公共点，则称P为“型点”.O第22题图yx(1)在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”；(3)求证：圆内的点都不是“型点”.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.给定常数，定义函数. 数列满足.(1)若，求及；(2)求证：对任意；(3)是否存在
7、，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.数学（理）2013 第3页（共4页）2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.解答一. （第1题至第14题）1.2.
8、3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二. （第15题至第18题）题 号15161718代 号BBADBAABDDCC第19题图yxz三. （第19题至第23题）19. （本题满分12分）如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、.设平面的法向量为，则，.因为，所以解得. 取，得平面的一个法向量.因为，所以，所以.又不在平面内，所以直线与平面平行.由，得点B到平面的距离，所以直线到平面的距离为.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.(1)生产该产品2小时的利润为.由题意，解得或.又，所以.(2)生产900千克该产品，所用的时间是
9、小时，获得的利润为.记，则，当且仅当时取到最大值.最大利润为元.因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.(1)因为函数在上单调递增，且，所以，且，所以.(2)，将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到的图像，所以.令，得或，所以两个相邻零点之间的距离为或.若最小，则a和b都是零点，此时在区间，（）上分别恰有3，5，个零点，所以区间上恰有29个零点，从而在区间上至少有一个零点，所以.另一方面，在区间上恰有30个零点，因此，的最小值为.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1
10、小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.(1)的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中.(2)因为直线与有公共点，所以方程组有实数解，因此，得.若原点是“型点”，则存在过原点的直线与都有公共点.考虑过原点与有公共点的直线或（）.显然直线与无公共点.如果直线为（），则由方程组得，矛盾. 所以直线（）与也无公共点.因此原点不是“型点”.(3)记圆，取圆O内的一点Q. 设有经过Q的直线l与都有公共点. 显然l不垂直于x轴，故可设.若，由于圆O夹在两组平行线与之间，因此圆O也夹在直线与之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与无公共点，矛盾，所以.因为l与有公共点，所以方程组有实数解，得
11、. 因为，所以，因此，即.因为圆O的圆心到直线l的距离，所以，从而，得，与矛盾.因此，圆内的点都不是“型点”.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.(1).(2)当时，；当时，；当时，.所以，对任意，.(3)由(2)，结合，得，即为无穷递增数列.又为等差数列，所以存在正数M，当时，从而.由于为等差数列，因此其公差.若，则，又，故，即，从而.当时，由于为递增数列，故，所以，而，故当时，为无穷等差数列，符合要求；若，则，又，所以，得，舍去；若，则由得到，从而为无穷等差数列，符合要求.综上，的取值集合为.高考(2013)数学（理）答案 第5页（共5页）
