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1、小学数学“平移与旋转”的教学研究吴正宪（北京教科院,数学特级教师）王彦伟（北京市东城区教师研修中心，中学高级教师）韩玉娟（北京第一师范学校附属小学，中学高级教师）各位老师大家好!今天我们讨论的话题是：小学数学“平移与旋转”的教学研究与案例评析。这一讲我们主要围绕着以下三个话题和大家一起分享：话题一：什么是“平移”、“旋转”？话题二：2011版课标中关于“平移旋转”这部分内容与2001版实验稿课标相比有什么变化？有什么新的要求？话题三：“图形运动”常用的教学策略有哪些？下面我们先走进第一个话题。话题一:什么是平移、旋转？“平移”、“旋转”是图形与几何领域中“图形运动”中的重要内容，是图形运动的重
2、要方式。对于小学生而言通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度，就够了。但是作为老师，这样还是不行的。要了解平移旋转的科学概念，不妨先了解一下图形的运动。图形的运动，在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）。在第一二学段，主要是合同运动，包括平移、旋转和轴对称。我们先来看看合同运动：如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换（也成为合同变换），它本质上是两点之间的距离不发生变化，换句话说在原来的
3、图形中，任意两点的距离假设是l的话，经过变换后的两点之间的距离仍是l，所以全等变换是一个保距变换，保距离的一种变换，距离保持了以后，自然图形的形状、大小，都可以证明仍然是保持的。全等变换有几种方式，其实可以直观地想一想，两个图形是完全一样的，要由这个图形运动得到那个图形，可以通过怎样的运动。首先可以是平移，平移到一定位置上就可以了，或者说对于三角形有一个顶点能够重合了，这时候无非有两种情况：一种情况是两个三角形的三个顶点的顺序是一致的，这时需要经过旋转两个图形就重合了；还有一种情况是顶点的顺序相反，这时需要经过反射（翻折）两个图形就重合了。上面的变换就是我们所说的平移、旋转变换和反射变换，它们
4、是三种基本的全等变换。反射变换有的老师把它叫做轴对称变换，实际上一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形是成轴对称的。下面介绍一个课标中的案例，体会一下这三种全等变换：具体的什么叫平移，什么叫旋转，什么叫反射，我们不给出数学上严格的定义，而是直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。话题二：2011版课标中关于“平移旋转”这部分内容与2
5、001版实验稿课标相比有哪些变化？有什么新的要求？在2001版的实验稿课标中增加了“平移旋转”等关于图形与变换的内容，在2011版课标中，仍然保留了这部分内容，并且将这部分的主题名称改为“图形的运动”，老师们一定会有这样的疑问：题目为什么会发生变化？这部分内容的学习到底有什么价值？与实验稿的课标相比有哪些变化？有什么新要求？1.为什么由“图形与变换”改为“图形的运动”？名称的变化一是为了突出小学阶段的特点，“运动”更加直观易懂；二是更加突出了从运动的角度刻画图形。运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。2.学习这部分内容的价值是什么？回答这个问题，我们不妨从学生和数学教育发展的历史视角
6、切入讨论。（1）从学生角度来看现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，例如，电梯、地铁列车在平行移动；钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动；许多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。我们希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。数学家A.D.莫肯说过：“数学的运动能量不是推理，而是联想与变换。”通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法。（2）从数学发展的角度来看1872年，德国大数学家克莱茵发表“
7、爱尔兰根纲领”的演说，这个里程碑式的论断，改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法。与静态地研究图形与几何的性质不同，图形的变换是从运动变化的角度去探索和认识图形与几何的性质，欣赏与设计图案，是发展学生空间观念和思维能力的重要内容。3.与实验稿的课标相比有哪些变化？有什么新要求？“图形的运动”是“图形与几何”领域中的一部分，承载着培养学生“空间观念、几何直观、推理能力”等重要任务。在前面的研讨中，大家可能已经对“空间观念、几何直观、推理能力”这几个核心概念有了了解，我们不妨回顾一下：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互
8、之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题，变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。平移与旋转是图形运动的重要方式，也同样肩负着培养学生空间观念、几何直观以及推理能力的重要作用。下面我们来看看2011版课标与2001版课标实验稿相比，这部分内容具体目标有哪些变化？按照标准的要求，小学1-6年级图形的运动主要涉及平移、旋转、对称及简单的图形相似这样一些内容。修改前修改后第一学段1.结合实例，感受平移、旋
9、转、对称现象。2.能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。3通过观察、操作，初步认识轴对称图形。并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。1.结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。2.能辨认简单图形平移后的图形。3.通过观察、操作，初步认识轴对称图形。第二学段1.用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个简单的轴对称图形。2.能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。3.通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90。4.欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。1通过观察、操作等活动，进一步认识
10、轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。2通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90。3能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。4能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。从上表中不难看出，标准在第一学段适当降低了要求，去掉了在方格纸上作图的要求，而将其放入了第二学段。这样就使得两个学段的层次更为明确：第一学段，结合实例，通过观察、操作，直观认识平移、旋转和轴对称。第二学段，通过在方格纸上作图等活动，定量刻画运动，
11、体会平移、旋转、轴对称的特征；体会图形的相似。总体上看：修改后的课标在这部分降低了难度，更加强调观察与操作，积累学生数学活动经验。过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，教学中应当予以充分的重视。标准更加明确了两个学段的层次，教学中要把握好各自的侧重点和联系。第一学段，侧重于对这三种运动的直观认识。学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受，了解平移、旋转和轴对称；并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。需要给学生提供大量的丰富的图形运动现象，在分类、比较等活动中直观认识三种运动，并通过丰富的活动感受三种运动下图形的形状和大小没有发生变化，以及三种运动的不同。引导学生充分地观察
12、、想象，运用日常生活中已经积累的有关经验，归纳、发现各种运动的特点，是达成这个课程目标的有效途径。在第一学段课标中给出了这样的案例：实际教学中，教师还可以增加一个问题：“那些图形可以通过旋转互相重合”，同时给出更多的常见图形，使学生通过观察体会平移和旋转的特点。其实，学生很早就有了物体或图形运动的经验，他们通过折纸、转风车、照镜子等获得诸如平移、旋转、反射等的体验。生活中的许多现象，如旗帜升起、螺旋桨转动等，以及建筑、植物（如枫叶）、动物（如蝴蝶）等物体为学生认识平移、旋转、反射提供了丰富的素材。教师应注意收集并利用这些素材，鼓励学生对这些素材加以分析（分类、比较），从而直观认识图形的运动现象
13、。然后教师还可以鼓励学生通过操作活动，整体感知图形的运动。第二学段，对于这三种运动，借助在方格纸上画图去定量刻画图形的运动，并通过丰富的活动体会三种运动的特征。看下面的例子：方格图中的图1向右平移（）个格得到图2。学生在解决这一问题时，已经开始探索如何定量刻画平移。学生在处理这个问题时还是存在一些困难的，比如学生在找平移格数时，常常会不去找平移前后两个对应点之间的格数，而是房子中间空白那一段的格数，得到平移2格的错误答案。此时，教师们会运用这样的策略：鼓励学生观察局部的点（如房子顶）的变化情况，通过一格一格的数来寻找正确的格数。这已经开始从整体感知运动到细致刻画变换了，当然这个过程是通过操作实
14、现的。教学中需要注意的是，第一，操作应该与适当的想象相结合。开始可以先操作然后再去回想变换的过程，积累一定经验后可以先去想象，然后再去操作，然后再回想。第二，教师还应明确教学要求，特别是作图的要求。首先小学阶段的作图是在方格纸上。另外，对于平移的作图，只要求做基本图形沿水平方向、竖直方向的平移；对于旋转来说，要求做基本图形旋转90度后的图形。标准不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度。方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，能更好地使学生认识和描述空间图形的变换过程，可以有效地促进学生对空间概念的建立。第三，还有注意规范学生的语言表达，培养学生的语言表达能力。图形的运动对小学生
15、的认识来说，是比较抽象的，有一定难度。如果把抽象的空间意识转化为具体的、容易操作的教与学的过程，方格纸起到很好的作用。在第一、二学段，方格纸是学生认识图形运动很好的平台，利用它可以准确地描述图形位置、定量刻画图形的运动，这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动的认识和理解。这也就回答了老师们的问题在“图形与几何”学习中方格纸的作用。为了增加学习的趣味性，有的教师将一些常见游戏引入课堂，既激发了学生学习的热情，又使学生理解和掌握了知识，体会了数学知识的价值。例如一位教师在教学“平移旋转之后”，做了一个小游戏：俄罗斯方框。他首先将屏幕停止，然后请同学们想象并叙述方框的运动方式，如向右平移三格再向下平
16、移5格，然后展示并验证同学们的想象过程。在学生叙述的过程中，紧抓平移或旋转要素，不断规范学生的语言，收到非常好的学习效果。学生的积极性很高。老师们也不妨试一试。第二学段课标中介绍了这样的案例：例35图画还原。打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤。说明在这个案例中，学生通过实际操作进一步理解平移和旋转，不仅能增加问题的趣味性，还可以让孩子们感悟几何运动也是可以记录的，体验选取最佳方案的过程。教学设计时，可关注如下要点：（1）完成还原积木的任务一定要从简单到复杂，如图，先打乱四块积木中的下面两块，让学生尝试思考的过程。学生有了一定经验后，可以打乱三块或四块积木，让学生继续尝试。（2）可以分小组进行。为了
