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1、极值点偏移的问题(含答案)1.已矢f (x) = In x -ax,(a为常数)(D若函数f (x)在x = 1处的切线与x轴平行，求a的值;(2)当a = 1时，试比较/ (m)与f (丄)的大小；mf (x)有两个零点x ,x ,证明：x -x e21 2 1 2变式：已知函数/(x) = Inx- ax2, a为常数。 讨论/ (x)的单调性；(2)若有两个零点x, x ,试证明：x - x e.1 2 1 2兀x2.已矢f (x) = x2+ax + sin ,x e (0,1);2(1) 若f (x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2) 当a=-2时，记/(x)取得极小值为/(
2、x )若/(x ) = f (x ),求证x + x 2x .0 1 2 1 2 03.已矢f (x) = In x-1ax2 + x,( a e R)(1) 若f (D=0，求函数f (x)的最大值；(2) 令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间；(3) 若a=-2，正实数x,x ,满足(x ) + f (x )+ x x = 0, 证明：x + x n1 2 1 2 1 2 1 2 24.设a0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-_1)x+1(1) 证明：当x 1时,g(x)0恒成立；(2) 若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围；(3) 若函数f(x)
3、有两个相异零点x ,x ,求证：x x e21 2 1 25.已知If (x) = |x 一 2a|- a In x,常数a e R。(D求f (x)的单调区间；(2) f (x)有两个零点x ,x , 且x x ；1 2 1 2(i)指出a的取值范围，并说明理由；(ii)求证：x -x 8a3126.设函数f (x) = ex-ax + a(a e R )，其图象与x轴交于Aq, 0), B。?，0)两点，且x x? (1)求a的取值范围;2)证明： 0，令 f(x) = 0，贝9 x = ln a .当x lna时，f (x) 0，f (x)是单调增 函数;于是当x = lna时，f (x
4、)取得极小值.因为函数f (x) = ex-ax + a(a e R )的图象与x轴交于两点Aq, 0)， Bg，0)(xix2)，所以 f (ln a) = a(2 - ln a) e2.此时，存在 1 0 ；存在 3ln a ln a，f (3ln a) = a3 - 3a ln a + a a3 - 3a2 + a 0，又由f (x)在(- lna)及(lna，+Q上的单调性及曲线在R上不间断，可知a e2为所求取值范围.(2)因为fx* -处1+ a = 0，两式相减得a =空严I e x? - ax + a = 0，x - x,2 2 2 1=4=2s记今=s( s 0)，则 fCi
5、 I e 宁-22x -x21g(s) = 2s - (es -e-s)，则 g，(s) = 2- (es + e-s) 0，所以 g(s)是单调减函数,则有g (s) 0，所以fQ义0.又f(x) = ex -a是单调增函数，且迸Z 応 所以 fxj ) 0 n x K i = 1， 2). ii于是e于=ay(x -l)(x -1)，在等腰三角形ABC中，显然C =90 ，所以1 2x = + 叮 g (x， x )，即 y = f (x ) 1 时，f (x) g (x)(III)如果 x1 丰 x2，且 )=/(叮，证明 x1 + x2 2(I)解:f (x) = f(1 x)e一x令
6、 f(x)=0,解得 x=1当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表X(8,1)1(1,+8 )f (x)+0f(x)/极大值所以f(x)在(8,1)内是增函数，在(1,+8 )内是减函数。1函数f(x)在x=1处取得极大值f( 1)且f(l) = e(II)证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x) = (2-x) ex-2令 F(x)=f(x)g(x),即 F(x)二 xe-x + (x - 2)ex-2于是 F(x) = (x 一l)(e2x-2 一 1)e-x当 x1 时，2x-20,从而e2x-2 1 0,又e-x 0,所以F (x)0,从而函数 F (x)在1,+
7、 a)是增函数。又 F(1) = e-1 -e-1 = 0,所以xl时，有F(x)F(1)=0,即 f (x)g(x).Ill)证明：(1)若(x 一 1)(x 一 1) = 0,由(I)及f(x ) = f(x ),则x = x = 1.与x 丰 x 矛盾。1 2 1 2 1 2 1 2(2)若(x 一 1)(x 一 1) 0,由(I)及f(x ) = f(x ),得x = x .与x 丰 x 矛盾。1 2 1 2 1 2 1 2根据(1) (2)得(x 1)(x 1) 0,不妨设x 1.1 2 1 2由(II)可知，f(x ) g(x )，则 g(x ) = f(2-x )，所以 f(x
8、) f(2-x ),从而2 2 2 2 2 2f(x )f(2-x ).因为x 1，所以2一x 2一x ,即x + x 2.1 2 1 28. 已知函数f (x) = ln x- ax2 + (2-a)x(12 分)(I)讨论fx)的单调性；(II)设 a0,证明：当 0 x f - x)；a a a(III)若函数y=fx)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x,证明:广菇)01 - x9. 已知函数f(x) = ex.1 + x 2(I)求f (x)的单调区间；(II)证明：当 f (x1) = f(x2)(x1 丰 x2)时，x1+ x2 0解：(I) f(x) = (-1
9、 +1一g(1 + x2)-(1一* 2x = xex(1 + x 2)23 x2 + 2 x(1 + x 2)2A = 22 - 4 - 2 0, y = f (x)单调递增; 当x e 0, + s)时，广(x) 0时f(x) 0 n g(x) = (1 - 2 x)e 2x -1令力(x) = (1 - 2x)e 2x -1 n h(x) = (1 - 2x)e 2x = -4xe 2x 0,n y = h(x)在(0, + s)上单调递减n h(x) h(0) = 0n y = g(x)在(0, + s)上单调递减n g(x) g(0) = 0exn y =(1 -x)e2x -1 -
10、x在(0,+ s)上单调递减，但x = 0时y = 0.1 + x 2n f(x)-f(-x)0n f(x) f(-x)所以，当/ (x ) = f (x )Mx 丰 x 时，x + x 0.1 2 1 2 1 210.已知函数 f (x) = alnx-x2.(1) 当a = 2时，求函数y = f(x)在2,2上的最大值；(2) 令g(x) = f (x) + ax，若y = g(x)在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围；(3 )当a = 2时，函数h(x) = f (x) -mx的图象与x轴交于两点A(x1,0)，B(x2,0)，且 0 x1 x2，又h( x)是h(x)的导函数.若
11、正常数a卩满足条件a + = h卩.证明： h(ax + P x ) 012解(1)f(x) = - - 2x = 2 - 2x 2 ,xx函数y = f(x)在1,1是增函数，在1,2是减函数，3分所以 f (x)= f (1) = 2ln1 -12 =-1 4 分maxa(2)因为 g(x) = alnx-x2 + ax，所以 g(x) =- 2x + a，5 分x因为g(x)在区间(0,3)上不单调，所以g(x) = 0在(0, 3) 上有实数解，且无重根,2x 219由 g(x) = 0，有 a = 2(x +1 +) 4 g (0, )， ( x w (0,3)x +1x +122x26分又当a = 8时，g(x) = 0有重根x = 2 ,7分9综上a E (0,三)22(3)V h(x) = 2x m，又f (x) mx = 0有两个实根x ,xx 1 28分2 ln x x2 mx = 01 11，两式相减，得2(lnx lnx ) (x 2 x
