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1、(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1已知椭圆1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率kPA，则直线PB的斜率kPB为()A.B.C D解析：设点P(x1，y1)(x12)，则kPA，kPB，kPAkPB，kPB2.答案：D2如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay2x By29xCy2x Dy23x解析：分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC
2、|2|BB1|，BCB130，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F为线段AC的中点故点F到准线的距离为p|AA1|，故抛物线的方程为y23x.答案：D3(2010烟台二模)已知抛物线y22px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是()A(0，) B(，)C(，) D(，)解析：由抛物线与双曲线有相同的焦点可得c，再由AFx轴可得，在双曲线中|AF|，在抛物线中|AF|p，故又有p2c2，即b44a2(a2b2)b44a2b24a40，解得223tan2(或
3、220)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与曲线C1相交于点B，|AB|，则直线AB的斜率为()A. B.C1 D.解析：设B(a，b)，则由题意可得解得则直线AB的方程为yk(x1)，故1，k，或k(舍去)答案：A5已知椭圆1，若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y4xm对称，则实数m的取值范围是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)，kAB，x1x22x，y1y22y,3x4y12，3x4y12，两式相减得3(xx)4(yy)0，即y1y23(x1x2)，即y3x，与y4xm联立得xm，y3m，而M(x，y)在椭圆
4、的内部，则1，即m1时，直线yaxa恒在抛物线yx2的下方，则a的取值范围是_解析：由题可知，联立，整理可得x2axa0，当a24a0，解得a0或a4，此时直线与抛物线相切，因为直线横过定点(1,0)，结合图形可知当a(，4)，x1时直线yaxa恒在抛物线yx2的下方答案：(，4)三、解答题(共3个小题，满分35分)10已知椭圆1(ab0)的一个焦点在直线l：x1上，离心率e.设P、Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R(，0)(1)求椭圆的方程；(2)试证：对于所有满足条件的P、Q，恒有|RP|RQ|.解：(1)椭圆的一个焦点在直线l：x1上，所以c1.又因为离心率e，即，所
5、以a2，从而b23，所以椭圆的方程为1.(2)证明：设T(1，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(，y0)，(x2x1，y2y1)，(x2x1)y0(y2y1)又因为P、Q都在椭圆1上，所以1，1，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，因为点T是PQ的中点，所以x1x22，y1y22y0，于是(x1x2)y0(y1y2)0，所以(x1x2)y0(y1y2)0，即0，所以RTPQ，即RT是线段PQ的垂直平分线，所以恒有|RP|RQ|.11(2011宜春三校联考)已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4，l1，l2
6、是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N.(1)求椭圆E的方程；(2)求l1的斜率k的取值范围；(3)求的取值范围解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，由得，椭圆方程为1(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为零l1ykx2，l2yx2.由消去y并化简整理，得(34k2)x216kx40根据题意，(16k)216(34k2)0，解得k2.同理得()2，k24，k24，k(2，)(，2)(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)那么x1x2，x0y0kx02，M(，)，同理得N(，)，即N(，)k24，2k2
7、即的取值范围是，)12(2010江南十校)如图，过圆x2y24与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R.(1)求动点R的轨迹E的方程；(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，且记1，2，求证：12为定值解：(1)设点H的坐标为(x0，y0)，则xy4.由题意可知y00，且以H为切点的圆的切线的斜率为：，故切线方程为：yy0(xx0)，展开得x0xy0yxy4.即以H为切点的圆的切线方程为：x0xy0y4，A(2,0)，B(2,0)，将x2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为C(2，)，D(2，)，则lAD：，及lBC：.将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为：x24y24，即y21.(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(，0)()当直线l的斜率为0时，M、N、P三点在x轴上，不妨设M(2,0)，N(2,0)，且P(0,0)此时有|PM|2，|MF|2，|PN|2，|NF|2，所以128.()当直线l的斜率不为0时，设直线MN的方程是：xmy(m0)，则点P的坐标为(0，)且设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去x可得：(m24)y22my10.则y1y2，y1y2，122()228(定值)
