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1、三线摆法测定刚体的转动惯量一、实验简介转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量、质量 分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技 术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。对于几何形状简单、 质量分布均匀的刚体可以直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量。 对于任意刚体的转动惯量，通常是用实验方法测定出来的。测定刚体转动惯量的 方法很多，通常的有三线摆、扭摆、复摆等。本实验要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法 ,并验证转动惯量的 平行轴定理。二、实验原理103q 0c. 0、_ r - i - , | ra r 图 1 三
2、线摆结构示意图图 2 下圆盘的扭转振动1底座；2底座上的调平螺丝；3支杆；4悬架和支杆连接的固定螺丝；5悬架；6上圆盘悬线的固紧螺丝；7上圆盘；8悬线；9下圆盘；10待测金属环；当上、下圆盘水平时，将上圆盘绕竖直的中心轴线OO转动一个小角度，借助悬线的张力使悬挂的大圆盘绕中心轴OO作扭转摆动。同时，下圆盘的质心o将 11沿着转动轴升降，如上图中右图所示。H是上、下圆盘中心的垂直距离；h是下 圆盘在振动时上升的高度；a是扭转角。显然，扭转的过程也是圆盘势能与动能 的转化过程。扭转的周期与下圆盘(包括置于上面的刚体)的转动惯量有关。当下圆盘的扭转角a很小时，下圆盘的振动可以看作理想的简谐振动。其势
3、能 E 和动能 E 分别为：pkE = m gh(1)p0二 1I2/d a、1/dh、o(dt)2 * 2 m0(dt)22)式中m是下圆盘的质量，g为重力加速度，h为下圆盘在振动时上升的高度，0竺=3为圆频率，dh为下圆盘质心的速度，1为圆盘对00轴的转动惯量。dtdt01若忽略摩擦力的影响，则在重力场中机械能守恒：1I (da 丫 丄 2 0 ( dt 丿1 ( dh + m 2 0 ( dt 丿+ m gh = 恒量03)因下圆盘的转动能远大于上下运动的平动能，于是近似有1I (da 丫丄 2 0 J dt 丿+ m gh = 恒量0Rra 2又通过计算可得：h = -4)(5)将(5
4、)代入(4)并对 t 求导，可得：d 2am gRr=-0adt 2 I H0该式为简谐振动方程，可得方程的解为：m gRrW 2 =0I H02兀因振动周期T =0 代入上式得：4兀2T20m gRr0I H0故有：m gRr=0 124 兀 2H o由此可见，只要准确测出三线摆的有关参数m、R、r、H和T，就可以精确地00求出下圆盘的转动惯量I。0如果要测定一个质量为m的物体的转动惯量，可先测定无负载时下圆盘的转动惯量I，然后将物体放在下圆盘上，并注意，必须让待测物的质心恰好在仪器 0的转动轴线上。测定整个系统的转动周期T ,则系统的转动惯量I可由下式求出: 11+ mgRrT 24兀 2
5、 H 119)式中H为放了待测物之后的上、下圆盘间距，一般可以认为HH。待测物的11转动惯量 I 为：I = I 一 I = gRr+ m)T2 - m T2104n 2 H 010 010)用这种方法，在满足实验要求的条件下，可以测定任何形状物体的转动惯量。用三线摆可以验证转动惯量的平行轴定理。物体的转动惯量取决于物体的质 量分布以及相对于转轴的位置。因此，物体的转动惯量随转轴不同而改变，转轴 可以通过物体内部，也可以通过物体外部。根据平行轴定理，物体对于任意轴的 转动惯量I，等于通过此物体以质心为轴的转动惯量I加上物体质量m与两轴 ac间距离d平方的乘积，写成：I = I + md 2ac
6、11)通过改变待测物体质心与三线摆中心转轴的距离，测量I与d 2的关系便可验证 a转动惯量的平行轴定理。三、实验内容1. 了解三线摆原理以及有关三线摆实验器材的知识2. 用三线摆测量圆环的转动惯量，并验证平行轴定理（1）测定仪器常数 H、R、r 恰当选择测量仪器和用具，减小测量不确定度。 自拟实验步骤，确保三线 摆上、下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态。（2）测量下圆盘的转动惯量 三线摆上方的小圆盘，使其绕自身转动一个角度，借助线的张力使下圆盘作 扭摆运动，而避免产生左右晃动。 自己拟定测量下圆盘转动惯量的方法。（3）测量圆环的转动惯量 下圆盘上放上待测圆环，注意使圆环的质心恰好在转动轴上，
7、测量圆环的质 量和内、外直径。 利用公式求出圆环的转动惯量。（4）验证平行轴定理 将质量和形状尺寸相同的两金属圆柱体对称地放在下圆盘上。测量圆柱体质 心到中心转轴的距离。计算圆柱体的转动惯量。四、实验仪器三线摆，米尺，游标卡尺，电子停表等，整体图如下Sv.lBLULUJJJUJHH_ 甘艸卅r翠卫凹凹工葺百無闻7出礁苗*审開星釘鬧 spuiM - 6drzL8Lr8LLL5lOE1丄3400.94oa測晁农裁123i时阖2応22.1322521-24iMM；側123-162.56162,541琥用123187.241 1&7221E7.1S爭动和次，T： Wlbl :单血:讣1测眾沈取1234
8、时问4Q.7641.4542.1(541 B8於早莎或123 I29.59205后29.56沖*220151118_114842.jpg Windows 照片宣看暫放册曲圈柱体之后,用游和卡尺31蚩他们之问的距韶初閲 两脚柱怀之间的距离羊彳立:mm）；勺“ :圆甜的直駅草位I叫阳：IL1址的自径mm)742.0039.9?40.7 SK0 忡 2)计算下園盘加圆柱体转动15呈利圍*主邯的转帘13S 園蛊加週拄体旳转动惯蚤陣妞：席严、丄啓 牛區1性津绕=我提中心轴的祐动谍呈【羊谊:,样将】?01 64放吾好曲同林僮厅记祠三罐批转功的周朋井将计算结黒记可器下盍测杲次戢?3岡牡件自径295029.56矍注住宜冷肉平均情商位12时I刊40.1640.98下區1盘放冒两團枝体时转动周踊平均值丁单位六、思考题1. 调节三线摆的水平时，是先调节上圆盘水平还是先调节下圆盘水平？ 答：先调节上圆盘水平2. 三线摆的振幅受空气的阻尼会逐渐变小，它的周期也会随时间变化吗？ 答：不会3. 如何测定任意形状物体对特定轴的转动惯量？ 答：可利用平行轴定理，先测定物体绕与特定轴平行的过物体质心的轴的转动惯量J,仪器可用三线摆。若特定轴与过质心轴的距离为L,则物体绕特定轴转动的转动惯量J=J+mL9
