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1、向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互 联系，培养学生辩证思维能力【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a = a I I b I cos与a b=a1b1+a2b2两个 式子的内在联系【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法向量内积的坐标表达式，是向量运算内 容与形式的统一无论是向量的线性运算还是
2、向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算教 学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1. 已知非零向量a与b，则a与 b的内积表达式是怎样的？由内积表达 式怎样求cos?2. alb o:3. I a I与冷a a有何关系？教师提出问题.学生回忆解答.师生共同 回忆旧知识.师：对平面向量的内积的 研究不能仅仅停留在几何角 度，还要寻求其坐标表示.引 出探究问题.为知识迁移做准 备.新已知e1，e2是直角坐标平面上的基学生讨论并回答，教师再问题为复习向量课向量，a=（a1，a2）, b = （b
3、1，b2）,你能推提出的下列问题：的线性运算和向量的新导出a b的坐标公式吗？(1) (a1e1+a2e2) (久 e1 +内积而设计.通过学课探究过程b2 e2）是怎样进行运算的？生的探究给出结论，新a b = (a1e1+a2e2)(久竹 + 乞(2)竹竹，e2 -e2，e1e2比直接给出更符合学课=a1b1e1 e1 + a1b2e1 e2的内积是怎样计算的？生的特点，容易被学新课+ a2bFl e2 + a2b2e2 e2， 又因为竹竹=1, e2e2=1，ei e2 = 0， 所以a b = aib1+a2b2-定理 在平面直角坐标系中，已知 e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两
4、个非零向量 a = (a1，a2), b = (b1，b2), 则a b=a1b1+a2b2.这就是说，两个向量的内积等于它 们对应坐标的乘积的和.我们还可以得到以下结论：(1) 向量垂直的充要条件为a 丄b a1 b+a2 b2=0；(2) 两向量夹角余弦的计算公式为.a1b1+a2b2cos严丄.Taf+a/Q b12+b22问题：(1) 若已知a=1，a?),你能用上面 的定理求出1 a I吗？解因为I a l2=a a = (a, a2)(a a2)= a12 + a22， 所以I a l=#a12+a22.这就是根据向量的坐标求向量长度 的计算公式.(2) 若已知Ag, y1), B
5、(x2，y2)，你 能求出iNbi吗？解 因为Ag, y1), B(x2，y2)，所以AB=(x2x1，y2y1).因为I a l=pa12+a22，所以I ABI=J (x2x1)2+(y2y1)2,教师针对学生的回答进行 点评.师生共同写出详细的探 究过程.教师给出向量内积的直角 坐标运算公式并引导学生用 文字叙述.在教师的引导下学生讨论 得出.教师提出问题，稍加点拨. 学生讨论解答.教师总结得出这就是根据 向量的坐标求向量长度的计算 公式.教师提出问题.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据 两点的坐标求两点之间的距离 公式.学生尝试解答教师针对 学生的回答进行点评.教师点拨，学生解答.教
6、师针对学生的回答进行 点评.教师点拨，学生讨论解答. 小组讨论时教师巡视，并 针对学生的回答给予补充、完 善.最后师生共同完成此题.教 师给出具体的解题步骤.教师点拨，学生解答.教师针对学生的回答进行 点评.师生合作共同完成.生接受.通过结论的 探究，让学生初步感 受到无论是向量的线 性运算还是向量的内 积运算，最终都归结 为直角坐标运算.通过对问题的详 细探究得到性质，比 直接给出结论更容易 被学生接受同时加 深对 a b=a1b1+a2b2 的理解.从而提高学 生的思维能力.使刚刚学过的知 识及时得到应用.通过例1可让学 生加深对向量内积的 直角坐标运算公式及 向量的长度公式的理 解和记忆
7、.巩固公式，形成 技能.在板书证明的过 程中，突出解题思路 与步骤.通过学生讨论， 老师点拨，可以突出 解题思路，深化解题 步骤，分解难点顺 利帮助学生完成.学习新知后紧跟 练习，有利于帮助学 生更好的梳理和总结 本节所学内容有利这就是根据两点的坐标求两点之间 的距离公式.例 1 设a=(3,1), =(1,一2),求：(1) a b；(2) 1 a 1；(3) lb 1；(4).解 (1)a b = 3X1+(-1)X(-2)= 3+2=5；(2) l a l = 732+(1)2=V1B；(3) l b = 12+(2)2=75 ；(4) 因为.a b52C0S= 1 a II b 厂帧x
8、诟=2，所以=f.例 2已知 A(2,4), B(2, 3),求 ilB i.解因为A(2,4), B(2, 3),所 以IB =(2, 3) (2,4)=(4, 7),所以 l ABl=j 72+(4)2=V65.例 3已知 A(1, 2), B(3, 4), C(5,0),求证：ABC是等腰三角形.证明因为AB =(3 1, 42) = (2, 2),AC = (5 1, 02) = (4, 2),BC = (5 3, 04) = (2, 4),l4C=42+(2)2=伍，于教师检验学生的掌 握情况.VBC=冷 22+(4)2=伍，所以ilC 1=1说1.因此ABC是等腰三角形.例 4 已
9、知 A(1, 2), B(2, 3), C(2, 5),求证：NB丄刁C.证明因为AB =(2 1, 32) = (1, 1),AC = (21, 52) = ( 3, 3),可得IB AC = (1, 1)(3, 3) = 0.所以NB丄AC.练习1. 已知 A(1, 2), B(2, 3), C(2, 5),求证：ABAC =2.2. 已知点P的横坐标是7,点P到 点N(1, 5)的距离等于10,求点P的坐 标.小 结本节课我们主要学习了平面向量内 积的坐标运算与距离公式，常见的题型 主要有：(1) 直接用两向量的坐标计算内积；(2) 根据向量的坐标求模；(3) 根据两点坐标求两点间的距离；(4) 判定两向量是否垂直.学生阅读课本，畅谈本节 课的收获，老师引导梳理，总 结本节课的知识点.梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.作 业教材P56练习A组第1题； 教材P57练习B组第1题(选做).巩固拓展.
