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1、工程力学（一）辅导资料十五主题：第十三章 压杆稳定学习时间：2015 年 7 月 6 日7 月 12 日内容：本周我们将学习第十三章压杆稳定的相关内容，希望通过下面的学习，使大 家对压杆稳定的概念、欧拉公式、压杆稳定的计算方法等有一定的了解和掌握。一、学习要求1、掌握压杆稳定的相关概念；2、掌握压杆临界力的计算方法;3、了解欧拉公式的适用范围；4、掌握压杆稳定的计算方法；5、了解提高压杆稳定性的措施。二、主要内容（一）概述图1压杆稳定问题突然变弯而失去稳定性,这种失稳的现象称为屈曲。失稳可能导致整个结构突然1、两端铰支压杆的临界力图5简支(球铰)弹性杆的临界载荷，亦称为压杆临界力的欧拉公式。F
2、cr兀2 EIL2临界力 Fcr：与杆长平方成反比；与杆截面弯曲刚度 EI 成正比；具有方向性； 杆端约束的影响； 总结：各种支承条件下的压杆稳定问题，我们可以将临界载荷的公式统一表达为：F _ 兀 2 EIc (pL)2M称为有效长度或相当长度，卩称为长度因子。2、杆端约束不同的压杆临界力 简支弹性压杆的屈曲模态，是一个正弦半波。v(x) = c sin -1 L%图63、不同杆端约束的临界载荷的有效长度(三)欧拉公式的适用范围 临界应力总图1、临界应力F兀 2 EIG = cr =cr A(pL)2 A令：i 2 =A兀2 E 兀2 EG =cr(|UL i)2九2九=巴，称为长细比或柔度
3、。i2、欧拉公式的适用范围临界应力G cr不能超过材料的比例极限G P o兀2 E 兀2 EG = Q cr(|uL i)2九2p| E九f p令九=兀；丄G1 p九九的大柔度压杆可以使用欧拉公式。 P1、实际压杆的稳定系数F G Q G /n n g _G =PG stG = cr = G ,(P =用=cr=护 1 ,Anstg G : n n Gstsst st其中，g 为稳定许用应力，n为稳定安全系数，申为稳定系数。stst2、例题d二4cm，材料的弹性模(1) 轴向受压圆形截面杆如图所示，已知I = 2m量E = 2 x 105Mpa，比例极限G = 200MP a，试验算该杆可否用
4、欧拉公式兀2 EIF 二一cr ( W )2图8解：利用欧拉公式的适用范围求解E九=兀1 p p二 3.4 ：2xI05 二 I。200ul240*101.5m200*6 -4 .,5m图9_7 X 2 二 140I A d 40.04 4满足p，故可用欧拉公式。(2) 图 2 所示压杆，在高 4.5m 处在 z 轴平面内有横向支撑。压杆截面为 焊接工字形，翼缘为轧制边，材料为Q235钢，F=800kN，压杆的柔度不得超过 150, o=215MPa，试校核其稳定性。解：面外：叮z= 1 x 4-5 = 4-5，面内：叭二1 x 6二6 计算面内和面外的柔度：A = 2 x 240 x 10
5、+ 200 x 6 = 6000mm 2240 x 103+ 240 x 10 x 1052)+6 x 2003=56.96 x 106 mm 4200 x 63+ 2 x 10 x24031T= 23.04x106mm4iz= 97.43mm ，:Ay方向的柔度大，根据九查表，由插值法确定申值:y申=0.629 - (0.629 - 0.623) x 0.6 = 0.625y=213.3MPa Q = 215MPa，满足稳定性要求。申A（五）提高压杆稳定性的措施1、选用合适材料由大柔度中心受压直杆的临界应力计算公式可知，临界应力与材料的弹性模 量E成正比。选用弹性模量E值较大的材料，可提高压
6、杆的临界力。应当注意， 高强度钢材和普通钢材的弹性模量值差别不大，故不能选用高强度钢材代替普通 钢材来改善压杆的稳定性。对于小柔度压杆，经验公式表明，选用高强度钢对提 高压杆的稳定性是有利的。2、增强杆端约束从压杆失稳状态的挠曲线形状可知，杆端的约束越强，长度因数卩值越小， 压杆的相当长度卩L越小，压杆的临界力越大，压杆的稳定性越好。3、合理设计截面从柔度公式九=巴=耳-I：A可知，在截面面积A 一定条件下，增大截面 i的惯性矩I，截面惯性半径i随之增大，压杆的柔度九减小。工程中可以通过使 用空心截面或型钢组合截面，使截面面积分布远离形心主轴，以提高截面的惯性 矩。（1）增大惯性矩，增大截面面
7、积；2）对称截面的使用。3）减小压杆的长度；4 ）压杆材料的选择；5）改善杆端的支撑；6 ）减少杆件的自由度；7）注意整体和局部稳定性的一致性。六）本章小结本章讨论了理想中心受压直杆的稳定性计算。压杆在临界状态下，其变形仍 保持在弹性范围内，在临界力F作用下，压杆处于微弯状态下的平衡状态。cr压杆稳定分析的主要概念及计算公式如下：1、计算临界力的欧拉公式：厂兀2 EIF = 一cr （pL）22、临界应力计算公式为：兀2 Ec =cr 九23、柔度或细长比的概念及计算公式：）_ pL _ MLi A4、稳定因数甲、压杆稳定条件：F r ,二 QQ A-F F 选择截面尺寸。由于-受到截面的大小
8、和形状的影响, -Q通常采取试算法。（3）已知A、-、Q，求解许用荷载F 。6、压杆稳定计算中应注意的问题（1 ）应用上述公式时，截面惯性矩I取最小值I 。minI E（2 ）欧拉公式的适用范围是Q 九=兀 一。cr pp 计 O+ P7、提高压杆稳定性措施提高压杆稳定性的关键在于提高压杆的临界力和临界应力。从计算公式可 知，细长压杆的临界力与材料、截面几何性质、约束和杆长等因素有关，故提高 压杆稳定性的各项措施应综合上述因素加以考虑。三、重要考点（一）选择题1. 影响压杆临界应力的因素包括（）A. 压杆材料B. 横截面形式C. 杆端约束D. 杆件长度答：ABCD2. 理想压杆两端受到轴向压力作用时，其平衡状态可分为（）A. 稳定平衡B. 临界状态C. 不稳定平衡D. 屈曲答：ABC（二）判断题1、利用欧拉公式计算临界应力时，稳定性具有方向性，惯性矩取截面各方向惯 性矩的最大值。（）答：错误
