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1、初中数学相似三角形模型（题型）大全-值得收藏一、比的性质：特征：比的基本性质，合比性质，等比性质ac小a+2bc+2d例1：已知了=3,，贝y=（）bdbd例2：如果P是线段AB的黄金分割点，且APPB，贝9下列各等式AB2=APPB,AP2=PBAB，BP2=APPB，AP/AB=PB/AP中，正确的是（）a+cb+ca+b,例3：已知k，则k的值为（）bac二、平行A字型如图（2）DE/BC，且DB=AE，若AB=5,AC=10,则AE的长为（103如图（1）DE/BC，则ADEsABCADAEDE特征：AADEsAABCnBCABAC应用1：（求线段的长）第#页共11页角度：平行产生比例
2、第#页共11页ABAC5_10BDECAEECAE10AE，AE:第#页共11页第#页共11页PB第#页共11页第#页共11页C1，C2,CC4是AC边的五等分点，则例2.如图（3）ABC中，BC=a是AB边的五等分点;BC+BC+BC+BC（2a）11223344应用2：（证明比例线段）例3.如图（4）,DE/BC/AF,求证：111+DEAFBC证明：分析：此题用了两个平行A字型ADDE：在厶ABC中，DE/BC，=ABBC第#页共11页DBDE在AABF中，DE/AF,人召=人尸AD,DBABDEDE,BCAF11、宀DE(BCTHAF)+得第#页共11页第#页共11页111=,DEBC
3、AF应用3：（证明线段相等）例4.如图（5）,一直线与厶ABC的边AB,AC及BC的延长线分别交于D、E、AEBFF。求证：若=，则D是AB的中点。ECCF证明：作CM/BA与EF交于”，则4ADEsCMEADCMAD_AECM_ECBDCMAE_BFAD_BFECCFCMCF,从而AD=D.D是AB的中点。CM/BDBDCMBFCF例5.如图（6）已知如图，在ABC中，ZBCA=90o，以直角边AC为一边向形外正方形ACEF，连接BF,交AC于P，过P作PQ/BC，交AB于Q,求证：PC=PQ证明：ACEF为正方形CP/EFBCPsBEFPC_BPEFBFPQ/BC/FABPQsABFABP
4、_PQBFFA它FAef=fQ.PC=PQ例6.如图（7）,在AB中,jC=900，以边向外作矩形ACDE,BE于AC交于F，FG/CB交AB于G,如果CF=FG，那么矩形ACDE具有什么特征？证明：CF/DECF_BFDE_BEFG/AEFG_BFAEBE第#页共11页C0FGDE=AE矩形ACDE是正方形例:戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB的高度为1.2米。&）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板的PQ中点，狮子能否把公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环的高度为3.6米，在不改变其他条件的情况下移动支点，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上?平行A字型的
5、实际问题1。如图（1）测量小玻璃管口的量具ABC上,AB的长为10毫米，AC被分为60等份。如果小管口DE正好对着量具上30份（DE平行AB）,那么小管口径DE的长是-5毫米。2。如图2小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度H应为2.7米.manBEfQ2KABC0.9mhm3KD230。COCBC2030D405060A5m10m3K30。(2)E3、如图4已知BC是圆O的直径，线段MN/BC,A是MN上任意一点，AF与圆O相切于F,连结AB与圆O相交于Q，D是AB上一点，且AD=AF，DE丄AB与AC的延长线交于E。（1）求证：CD/BE（2）若MN
6、与BC之间的距离为5,BC=4，求证：当点A变动时，AADE的面积是一个定值（3）若AF：AE=1：2，AC：BC=:，求，BCA的度数ADAQ证明：AdAQxAB，AD=AF，AD2=AQxABab=ad又因为QC/EFAQADACADACAEAB=AECD/BE第#页共11页（2）证明:x4x5=20S=SS=SABCDADECAABCAADE三、平行X字型如图(1)DE/BC,则厶AEDsACB特征:AEADADEACBac=ABDEBC应用1：（证明比例线段）例1.已知，如图（2）直线与四边形ABCD的AB、CD边交于E、H,所以AADE的面积是一个定值。(3)AC=K,QC=2K,B
7、C=K,COS，QCB=/2所以，BCQ=45，所以，BCA=75第#页共11页与AC交于G,与AD、CB的延长线交于P、F,求证：GPGH=EGFG证明：（分析：此题应用两次X字型）第#页共11页PA/CF,HC/AE.PG_AGAG_GE*F护C，GC_GH.PG_EGfG_GH:.PGGH_EGFG例2.如图（3）O与O外切于点P,外公切线AB切O于点A，切O于点B,12-半径分别为r和r，求证:AP2rBP2RAP2证明：RtAABC构成三直角模型，BP2_APPC,BP2oooAP2AP一APPC一PCZOAB_ZCBA_900,OA/BC在AOP和222PCO中,APAO2CO2例
8、3、如图（4）DE是ABC的中位线；F是DE的中点，BF的延长线交AC于H,则AH:HE等于（B）A1:1B2:分析：作BD_DG_2DF_，BAAH1FE1C1:2D3:2&/AC交BH_1,DG_EHEH1占八、EH_2AH_1求证：ME*BF=BE*MFMFDMMC证明：；AFBCFBDCABMCMEMFME“-MCAB_ME*BFBE*MFABBEFBBE例4、如图（5）,已知点M是矩形ABCD的边CD的中点，连BM与AC交于E,与AD的延长线交于F,例5、如图（6）,D是AC上一点,F是CB延长线上一点，且AD=FB，连DF与AB交于E,求证:BC*EF=AC*DE。证明：方法一如图
9、6过D点作DMCB与AB交于MDMBCDMDMCBAD_AC,BFDE_EF又TAD=BF,ABCDE亠亠ABC*EFAC*DEACEFD方法二如图6，过F点作FNACEFBC第4页共11页N交AB的延长线于N,:FNACBFBCADDEFNACFNEFBCdeAD=BF,=,BC*EF=AC*DE例6、如图：在平行ACEF四边形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于O,则SAOB等于()已知如图(7),ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的0O相交与P,C两点，连结AC,AP,CP拼延长CP,AP分别交AB,BC,OO于E,H,F三点，连结OF(1) 求证：AAE
10、PCEA(2)求BH:HC分析：此题应用了双割线模型(1) 证明：由，1=，2AEPCEA(2) 解：OFAB.OHFABHAOHOFBH_AB-AB=BC=2OF.OH_1BH2设OH=k，HB=2k，则OC=OB=OH+HB=3kHC=4kBH:HC=2k:4k=1:2四、三直角模型如图（1）直角ABCs直角ACDs直角BCDAC丄BC,CD丄AB,则有AC2_AD*AB；BC2_BD*AB;CD2_AD*DB;AC*BC_CD*AB（射影定理）例1、如图（2）在厶ABC中，ACB=90,CD丄AB于D,求证CE*AC=AD*BDQ证明：在RtAACD中，CD2=CE*AC,在RtACB中
11、，CD2=AD*BDCE*AC=AD*BD例2、如图(2)，在AABC,，C=90,CD丄AB于D，DE丄AC于E,垂足分别为D,EO、AC2AE求证：厂小=小厂BC2CEAC2BC2=BD*AB，BC2ADBD三直角模型CAD（1）CEAD证明：在RtABC中，AC2=AD*AB，第#页共11页(3)又一EDBCAD=兰BDCEAC2AEBC2CE)在厶ABC中，AD丄BC于D，DE丄AB于E,DF丄AC于E=AC*AFD丄BC,DE丄ABKaBD-ADEAD2=AB*AE又AD丄BC,DF丄ACKACDKADFAD2=AC*AF因此AB*AE=AC*AF例4、如图(4)，BC是半圆的直径,
12、O是圆心,P是BC延长线上一点,PA切半圆于点A,AD丄BC于点D,求证；PD*PO=PC*PB证明:一PA为切线，二PA2=PC*PB,在RtKAOP中，PD*PO=PC*PB例5、如图(5),点P是O的直径BA延长线上一点,PC于匕O相切于点C,CD丄AB,垂足为D,连接AC,BC,DC,那么下列结论中：1、PC2=PA*PB2、PC*OC=OP*CD3、OA2=OD*OP4、OA(CP-CD)=AP*CD正确的结论有(D)A、1个B、2个C、3个D、4个分析：3、OC2=OA2=OD*OP4、OA(CP-CD)=PC*OA=OP*CD,OP=OA+APPC*OA=(OA+AP)*CD例6、如图(6),在RtKABC中,CD是斜边上的高,DE，BC于E,则图中与厶ABC相似的三角形(不包括厶ABC)共有(B)A、5个B、4个C、3个D、2个分析：KABCACDCDECDBKDEB例7、如图3已知AB是圆O的直径，圆O过AC的中点D,DE丄BC,垂足为E，求证(1)DE是圆O的切线(2)CD2=CDxCB(1)连结ODtD是AC的中点，O是AB的中点，OD/BC所以ZCED=例3、如图F,求证：A证明：PA2=PD*POZODE=90o，二DE是圆O的切线。(2)连结DB,RtCDBCD2=CExCB。E(6)5)例8。已知：如图5ABC中，点D,E分别在边AB,A
