多目标决策

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1、多目标决策单目标决策问题前三章差不多进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的 效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。但在实际工作中所遇到 的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。这些目标有的相互联系，有的相互制 约，有的相互冲突，因而形成一种专门复杂的结构体系，使得决策问题变得专门复 杂。国外一样认为，多目标优化问题最早是在19 世纪末由意大利经济学家帕累托 V.Pareto从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设 法变换成一个单一的最优目标来进行求解。到了 20世纪 40 年代，冯诺曼等人由从 计策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策

2、问题。1950 年代初，考普曼T.C.koopmans从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问 题,并引入了帕累托最优的概念。960年代初，菜恩思F.Charnes和考柏J.Cooper 提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。目标规划是线性规划的修正和进展， 这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之 间的偏差为最小。1970年代中期，甘尼R.L.Keeney和拉发用比较完整的描述多 属性效用理论来求解多目标决策问题。1970年代末，萨蒂A.L.Saaty提出了阻 碍广泛的 AHP(the analytical hierarchy process)法,并在 1

3、980 年代初纂写 了有关 AHP 法的专著。自 1970 年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之显现。总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，专门是在经济、治理 系统工程、操纵论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。13.1 差不多概念多目标决策和单目标决策的全然区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较 各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。例 13.1 房屋设计 某单位打算建筑一栋家属楼，在差不多确定地址及总建筑面积的前提下，作出 了三个设计方案，现要求依照以下5个目标综合选出最正确的设计方案：1) 低造价每平方米造价不低于500元，不高于700

4、元 ；2) 抗震性能抗震能力不低于里氏5级不高于7级；3) 建筑时刻越快越好 ；4) 结构合理单元划分、生活设施及使用面积比例等；5) 造型美观评判越高越好这三个方案的具体评判表如下。表 13.1 三种房屋设计方案的目标值具体目标方案1A)方案2A2方案3A3低造价元/平方米500700600抗震性能里氏级6.55.56.5建筑时刻年21.51结构合理定性中优良造型美观定性良优中由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。某一个方案对其中一个目标来 说是最优者，从另一个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。比如从造价低 那个具体目标动身，那么方案1较好；如从合理美观的目标动身，方案2 就不错；

5、 但假如从牢固性看，明显方案3 最可靠等等。1多目标决策问题的差不多特点例 13.1 确实是一个多目标决策问题。类似的例子能够举出专门多。多目标决 策问题除了目标不至一个这一明显的特点外，最显著的有以下两点：目标间的不可 公度性和目标间的矛盾性。目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直截了当 进行比较。例如房屋设计问题中，造价的单位是元/平方米，建筑时刻的单位是年， 而结构、造型等那么为定性指标。目标间的矛盾性 是指假如选择一种方案以改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。如房屋设计中造型、抗震性能的提高可能会使房屋建筑成本提高。2多目标问题的三个差不多要素一个多目标

6、决策问题一样包括目标体系、备选方案和决策准那么三个差不多因 素。目标体系是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；备选方案是指决策者依照实际问题设计出的解决问题的方案。有的被选方案 是明确的、有限的，而有的备选方案不是明确的，还有待于在决策过程中依照一系 列约束条件解出。决策准那么是指用于选择的方案的标准。通常有两类，一类是最优准那么，能够把所有方案依某个准那么排序。另一类是中意准那么，它牺牲了最优性使问题 简化，把所有方案分为几个有序的子集。如可同意与不可同意；好的、 可同意的、不可同意的与坏的。3几个差不多概念1劣解和非劣解劣解：如某方案的各目标均劣于其他目标，那么该方案能够直截了当舍去

7、。 这种通过比较可直截了当舍弃的方案称为劣解。非劣解：既不能赶忙舍去，又不能赶忙确定为最优的方案称为非劣解。非劣解 在多目标决策中起专门重要的作用。怎第二目标值)I oooQOOfl(第一目标值)图 13.1 劣解与非劣解单目标决策问题中的任意两个方案都 可比较优劣，但在多目标时任何两个解不一 定都能够比较出其优劣。如图 13.1，期望 f1 和 f2 两个目标越大越好，那么方案 A 和 B、 方案 D 和 E 相比就无法简单定出其优劣。 然而方案 E 和方案 I 比较，明显 E 比 I 劣。 而对方案 I 和 H 来说，没有其它方案比它们 更好。而其它的解，有的两对之间无法比较， 但总能找到

8、令一个解比它们优。I、H这一 类解就叫非劣解，而 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G 叫作劣解。假如能够判别某一解是劣解，那么可剔 除之。假如是非劣解，因为没有别的解比它 优，就无法简单剔除。倘假设非劣解只有一 个，因此就选它。问题是在一样情形下非劣解远不止一个，这就有待于决策者选择 选出来的解叫选好解。关于 m 个目标，一样用 m 个目标函数 f (x), f (x), , f (x) 刻划，其中 x 表 1 2 m 示方案，而 x 的约束确实是备选方案范畴。最优解：设最优解为x *，它满足f (x*) f (x)i = 1,2, ,n13.1.1ii2选好解在处理多目标决策时，先找最优

9、解，假设无最优解，就尽力在各待选方案中 找出非劣解，然后权衡非劣解，从中找出一个比较中意的方案。那个比较中意的方 案就称为选好解。单目标决策要紧是通过对各方案两两比较，即通过辨优的方法求得最优方案 而多目标决策除了需要辩优以确定哪些方案是劣解或非劣解外，还需要通过权衡的 方法来求得决策者认为比较中意的解。权衡的过程实际上就反映了决策者的主观价 值和意图。13.2 决策方法解决多目标决策问题的方法目前已有许多，本节要紧介绍以下三种：化多目标 为单目标的方法、重排次序法、分层序列法。决策的一样步骤为，第一步，判定各 个方案的非劣性，从所有方案中找出全部非劣方案，即中意方案。第二步，在全部 非劣方案

10、中查找最优解或选好解。13.2.1 化多目标为单目标的方法由于直截了当求多目标决策问题比较困难，而单目标决策问题又较易求解，因 此就显现了先把多目标问题转换成单目标问题然后再进行求解的许多方法。下面介 绍几种较为常见的方法。1) 要紧目标优化兼顾其它目标的方法设有m个目标f(x), (x),.，人(%), xg R均要求为最优，但在这m个目标 中有一个是要紧目标，例如为f(x),并要求其为最大。在这种情形下，只要使其它 目标值处于一定的数值范畴内，即f f (x) f ”,i 二 2,3,.,mi ii就可把多目标决策问题转化为以下单目标决策问题：max f ( x)xgr 113.2.1R

11、= xf f (x) f”,i = 2,3,., m; x g Ri ii例 13.2 设某厂生产 A、B 两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所需 的设备台时、原料等消耗定额及其质量和单位产品利润等如表 13.2 所示。在制定 生产打算时工厂决策者考虑了如下三个目标：第一，打算期内生产产品所获得的利 润为最大；第二，为满足市场对不同产品的需要，产品A的产量必须为产品B的 产量的 1.5 倍；第三，为充分利用设备台时，设备台时的使用时刻不得少于11 个单位。消耗定额、资源一口AB限制量设备台时h121224原料t3343.2单位利润千元表 13.2产品消耗、利润表明显，上述决策问题是一个多目

12、标决策问题，今假设将利润最大作为要紧目标 那么后面两个目标只要符合要求即可。如此，上述问题就可变换成单目标决策问题 并可用线性规划进行求解。设6为产品A的产量，x2为产品B的产量，那么上述利润最大作为要紧目标,1 其它两个目标可作为约束条件，其数学模型如下：max z = 4x + 3.2x122x + 4x 12（设备台式约束）123x + 3x 12（原料约束）s.t. 11（目标约束）12x,x 012线性规划问题及后面所介绍的目标规划问题的求解过程请参阅 运筹学有关部 分。2）线性加权和法设有一多目标决策问题，共有f（x）, f2（x）, ,人（%）等m个目标，那么能够对 目标fi（x

13、）分别给以权重系数九i fz=1，2,，m，然后构成一个新的目标函数如 下：max F(x)= 九 f (x)13.2.3iii=1运算所有方案的F（x）值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而 有些要求最小，那么可第一将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权 和法运算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。3) 平方和加权法设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f(x), (x), ,人与规 定的m个中意值久*, f2*，人*的差距尽可能小，这时能够重新设计一个总的目 标函数：F(x)= 九(f (x) -

14、f *)213.2.4i i ii=1并要求min F(x)，其中九.是第i(i=1,2,.)个目标的权重系数。i4) 乘除法当有m个目标f1(x)，(x),，人(x)时，其中目标f1(x), (x),，fk(x)的值 要求越小越好，目标fk(x),./k+1(x)，人(x)的值要求越大越好,并假定fxjJk+x),., 人(x)都大于0。因此能够采纳如下目标函数k +1k+2m13.2.5并要求 min F(x)。5) 功效系数法设有m个目标f1(x), f2(x)，fm(x)，其中k1个目标要求最大，k2个目标要求 最小。给予这些目标f1(x), (x)，,fm(x)以一定的功效系数d(i=1,2,.,m), 0 d 1。当第i个目标达到最中意时d=1，最不中意时d.=0,其它情形d.那么i111为0, 1之间的某个值。描述4与/(工)关系的函数叫作功效函数，用d.=F(f.)表示。 不同性质或不同要求的目标能够选择不同类型的功效函数，如线性功效函数、 指数型功效函数等。图13.2所示为线性功效函数的两种类型。图13.2a所示为要求 目标值越大越好的一种类型，即f值越大，d.也越大。图13.2b为要求目标值越小 越好的一种类型，即f越小，d.越大。记max f(x)= fm