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1、22X年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷）说明:1评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设分和0分两档;其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次一、选择题(本题满分36分,每小题6分).函数在上的最小值是 ( C )A.0 B.1 C.2 D.3解当时,因此，当且仅当时上式取等号.而此方程有解,因此在上的最小值为2.2设，,若,则实数的取值范围为 （ )A . . D.解法一 因有两个实根 ，
2、故等价于且,即且，解之得.解法二(特殊值验证法)令,排除C,令,排除A、,故选D。解法三(根的分布）由题意知的两根在内，令则解之得:.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为 ( B）. B. C D. 解法一 依题意知,的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有 , ， ，故.解法二 依题意知,的
3、所有可能值为2，,6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得, , ,故.若三个棱长均为整数(单位：c)的正方体的表面积之和为6,则这三个正方体的体积之和为 （A ）. 74 cm或586 3 B 64 m3 . 586 cm或564 m3 . 86 c3解 设这三个正方体的棱长分别为,则有,，不妨设,从而，.故只能取9，8，7,.若，则,易知，得一组解若,则,.但,从而或5若，则无解，若,则无解.此时无解若，则,有唯一解,.若，则，此时,.故,但，故，此时无解.综上,共有两组解或体积为cm3或cm3.5方程组的有理数解的个数为 （B）A B . 3 D 解
4、若，则解得或若,则由得. 由得. 将代入得. 由得,代入化简得.易知无有理数根,故，由得，由得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或6.设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围是 ( C )A. C. D解设的公比为,则,而 .因此，只需求的取值范围.因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边，必需且只需且.即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是二、填空题(本题满分5分,每小题9分)7设,其中为实数,，,，若，则 5 .解 由题意知,由得，因此,，8.设的最小值为,则.解 ，()时，当时取最小值；（) 时,当时取最小值；()时,当时取最小值.又或时,的最小值不能为,故,解得,(
5、舍去）.将4个志愿者名额分配给个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种解法一用条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额如 表示第一、二、三个学校分别有4，1,2个名额.若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“”,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的2个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有种又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有2533122种.解法二设分配给3个学校的名额数分别为，则
6、每校至少有一个名额的分法数为不定方程 .的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于个不同元素中取1个元素的可重组合:又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有1种综上知,满足条件的分配方法共有53-=222种.1.设数列的前项和满足：,，则通项.解 ,即 2 ，由此得 2.令, ()，有,故，所以.11.设是定义在上的函数,若 ,且对任意,满足 ,则=.解法一 由题设条件知 ，因此有，故 .解法二 令,则 ，,即,故，得是周期为的周期函数,所以.12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器
7、内壁的面积是. 解 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面/平面，与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,，垂足为的中心.因答12图1 ，故，从而.记此时小球与面的切点为，连接，则.考虑小球与正四面体的一个面（不妨取为）相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2记正四面体的棱长为，过作于.答12图2 因,有,故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如答2图中阴影部分). 又，所以由对称性,且正四面体共个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题（本题满分分，每小题20分)1.已知函数的图像与直线 有且仅有三个
8、交点,交点的横坐标的最大值为，求证: 答13图 .证 的图象与直线的三个交点如答3图所示,且在内相切，其切点为,.5分 由于,所以，即. 10分因此 15分 0分14.解不等式.解法一 由，且在上为增函数，故原不等式等价于 即 分分组分解 , 0分所以 , . 15分所以,即或故原不等式解集为 分解法二 由，且在上为增函数，故原不等式等价于. 5分即, , 1分令,则不等式为， 显然在上为增函数,由此上面不等式等价于 , 5分即，解得 (舍去）,故原不等式解集为 20分题15图15如题1图，是抛物线上的动点,点在轴上，圆内切于，求面积的最小值解设，不妨设.直线的方程:,化简得 .又圆心到的距离
9、为1, , 分故，易知,上式化简得, 同理有. 10分所以，,则.因是抛物线上的点,有,则, 5分所以 当时,上式取等号，此时.因此的最小值为. 0分02年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准说明:1评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分；2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、（本题满分50分)如题一图,给定凸四边形,，是平面上的动点,令.(）求证：当达到最小值时,四点共圆;()设是外接圆的上一点,满足:,，又是的切线,求的最小值解法一 （)如答一图1,由托勒密不等式，对平面上的任意点，有答一图1 .因此 .因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时,. 10分又因,此不等式当且仅当共线且在上时取等号.因此当且仅当为的外接圆与的交点时,取最小值.故当达最小值时，四点共圆 20分(）记，则，由正弦定理有，从而,即,所以，整理得， 30分解得或(舍去),故,. 由已知=，有,即,整理得，故,可得, 4分从而，为等腰直角三角形.因,则又
