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1、习题1.设ABCD - EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为反矢量的矢量：的上、下底面，(5)BE , CH .试在 矢量(1) I a + b 1=I a 一 b I;(2) I a + b I=I a I + I b I;(4) I a - b I=I a I + I b I;(5) I a 一 b I=I a I 一 I b I .AB，BC，CA，AB ，BC ，C A ，AA ，BB ，CC 中找出共线矢量和共面矢量。(3) I a + b I=I a I - I b I;4.已知四边形ABCD中，AB = a 一 2c，CD = 5 a + 6 b -
2、8 c，对角线AC，BD的中点分别为 E，F，求 EF。5. 在四边形 ABCD 中，AB = a + 2b，BC = -4a - b，CD = -5a - 3b，证明四边形 ABCD 为梯形。6. 设 M 是平行四边形 ABCD 的中 心， O 是任意一点 ， 证 明OA + OB + OC + OD = 4 OM。用矢量法证明平行四边形对角线互相平分。I-7.知矢量a，b相互垂直，矢量c与a，b的夹角为60 0，且IaI=1，I bI=2，Ic I= 3，计算:(1) (a+b)2;(2) (a + b)(a-b);(3) (3a-2b)(b-3c);(4)(a+2b- c)2。F *-I
3、- F f* f8-已知矢量a，b，c两两垂直，且I a I= 1，I b I= 2, I c I= 3，求r = a + b + c的长和它与a，b，c 的夹角。已知 I a 1= 2,1 b 1= 5,a-b = 3，求(1) I a x b I; (2)(a + b) x (a b)11.12.17.19.OpOA + X OB=。1 + Xi. re , e的线性组合;1 229. 已知| a 1= 2,1b 1= 5, Z （a, b）=兀，p = 3a - b, q =九a + 17 b，问系数九取何值时p与3q 垂直。10. 用矢量法证明：三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点
4、等距。已知平行四边形以a=fe,i,-1,b=4,-2为两边，（1）求它的边长和内角；（2）求它的 两对角线的长和夹角。（3）ta 2b） x （b 2a）。f f、 f f、已知a = fe,3,1b = 2,3，求与a,b都垂直且满足如下之一条件的矢量c :（1） c 为单位矢量；（2）c . d = 10，其中 d = bl,7 。13已知a = 42,3,1b = 45,6,4，求（1）以a,b为边的平行四边形的面积；（2）这平行四 边形的两条高的长。14已知矢径 OA = r , OB = r , OC = r，证明 R = (r x r ) + (r x r ) + (r x r
5、)垂直于123122331ABC 平面。15. 已知直角坐标些内矢量a,b,c的分量，判别这些矢量是否共面？若不共面，求出以它们 为三邻边的作成的平行六面体的体积。(1) ak4,5,b4,2,2c =,14,16 ；(2) a&0,1b2,4,3,c = 4 1,2,2。16. 已知直角坐标些内a, b, c, d四点坐标，判别它们是否共面？若不共面，求出以它们为 顶点的四面体的体积和从顶点D所引出的高的长。(1) A(1,0,1), B(4,4,6),C(2,2,3), D (10 ,14 ,17 ) ；(2) A(2,3,1), B(4,1,2),C(6,3,7), D(5,4,8) 。
6、直线上三点a , b , p满足ap = X PB卜丰一1）, O是空间任意一点，求证:在 A ABC 中，设 ab = e , AC = e。1 2 r p（1）设D, E是边BC的三等分点，将矢量AD , AE分解为（2）设at是角A的平分线（它与BC交于T点），将矢量at分解为e , e的线性组合。 1 2合。用矢量法证明以下各题:（1）三角形三中线共点；（2） P是A ABC重心的充要条件是PA + PB + PC = 0。 证明三个矢量 a = -e + 3e + 2e ,b = 4e - 6e + 2e , c = -3e + 12e + 11 e 共面,123123123P1其中
7、a能否用b, c线性表示？如能表示，写出线性表示关系式。21 I.证明三个矢量九a -九a共面。22 在平行六面体abcd EFGH中，平行四边形CGHD的中心为P ,并设 AB = e , AD = e , AE = e ，试求矢量BP , EP关于标架A ； e , e , e堆勺分量，以及A BEP1 2 ?31 2 3三顶点及其重心关于；e,e ,e呼勺坐标。23 在空间直角坐标系I; i, j, k斥，设点P(2,-3,-l) , M(a,b ,c )，求这二点关于(1)坐 标平面，(2)坐标轴，(3)坐标原点的各个对称点的坐标。24已知 A B C三点坐标如下：(1)在标架 O；二
8、厂 下，A(0，1)，B(2，-2), C(-2,4)；(2)在标架 O; e , e , e 斥，A(0,1,0), B (-1,0,2), C (-2,3,4)。判别它们是否共线？若 1.23共线，写出AB , AC的线性关系式。iff*rA25已知矢量a,b,c 的分量如下：（1） a = 0,1,2,b =）0,2,4,c = *1,2,1；(2) a = *1,2,3),b = E,-1,0,c = ,5,6。判别它们是否共面？能否将c表示成a,b的 线性组合？若能表示，写出表示式。26.已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分，求这个线段两端点A,B的坐标。27已知矢量AB与单位矢量e的夹角为150 0，且1 AB |= 10，求射影矢量AB与ePr j AB。又若r = - e，求射影矢量” AB 与Pr j AB。
