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1、数据模型与决策课程案例一 生产战略一、问题提出好身体公司(BFI)在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家 庭锻炼所广泛使用的举重机。两种机器都是用了 BFI专利技术，这种技术提供给使用者除 了机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。直到现在，这种功能也只有在很昂贵 的、应用于理疗的举重机上才可以获得。在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上， BFI 现在收到的订单数量已经超过了这个时期BFI的生产能力。管理部门决定开始这两种器械 的生产。这两种器械分别被BFI公司命名为BodyPlus100和BodyPlus200，由不同的 原材料生产而
2、成。BodyPlus100由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。生产一个框架 需要 4 小时机器制造和焊接时间，2 小时喷涂和完工时间；每个压力装置需要 2 小时机器 制造和焊接时间，1 小时喷涂和完工时间，每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接 时间，2小时喷涂和完工时间。另外，每个BodyPlus100还需要2小时用来组装、测试和 包装。每个框架的原材料成本是450美元，每个压力装置的成本是300美元，每个提升一 下拉装置是 250 美元。包装成本大约是每单位 50 美元。BodyPlus200包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个腿部拉伸装 置。生产一个框架
3、需要5小时机器制造和焊接时间，4小时喷涂和完工时间；生产一个压力 装置需要3小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；生产每个提升一下拉装置需 要2小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间，另外，每个BodyPlus200还需要 2小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是650美元，每个压力装置的成本 是400美元，每个提升一下拉装置是250美元，每个腿部拉伸装置的成本是200美元。 包装成本大约是每单位75 美元。在下一个生产周期，管理部门估计有600小时机器和焊接时间，450小时喷涂和完工 时间，140 小时组装、测试和包装时间是可用的。现在的每小时劳动力成本是机器制造和
4、焊接时间20美元，喷涂和完工时间15美元，组装、测试和包装12美元。虽然对于BFI 来说由于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性，但BodyPlus100的市场建议 价格是2400美元，BodyPlus200是3500美元。授权的BFI销售商可以以市场价格的 70%来购买产品。BFI 的总裁相信 BodyPlus200 的独特功能可以帮助 BFI 成为高端锻炼器械的领导 者。所以，他认为BodyPlus200的数量至少会占到整个生产数量的25%。管理报告分析 BFI 的生产问题，为公司的总裁准备一份报告，告诉他们你的发现和建议。报告 包括以下几个方面(不仅于此)：(1) BodyPlu
5、s100 和 BodyPlus200 的建议生产数量是多少？(2) BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？(3) 为了增加利润应扩展哪方面的努力？ 把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。二、问题分析与模型建立根据案例对好身体公司(BFI)两种器械产品BodyPlus100和BodyPlus200的描述，用表格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下：零件产品原材料成本(美兀)BodyPlus100BodyPlus200BodyPlus100BodyPlus200框架4254450650压力装置2 132300400提升/下拉2 22 2250250
6、组装22腿拉200包装5075总共用时(h)8510 8总成本(美兀)10501575机器/焊接(h)600劳动成本(美元/h)20喷涂/完工(h)45015组、测、包(h)14012售价(美元)24003500表1.1(1) BodyPluslOO和BodyPlus200的建议生产数量是多少?设BodyPlus100的建议生产数量是x1, BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润 是 Z，则目标函数：maxz=2400x1+3500x2 20(8x1 + 10x2) 15(5x1+8x2) 12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2 约束条件：8x1 + 10x2 6005
7、x1+8x2 450*2x1+2x2 0(2) BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？设BodyPlus100的建议生产数量是x1, BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润 是 Z,贝I目标函数：maxz=2400x1+3500x2 20(8x1 + 10x2)15(5x1+8x2) 12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2约束条件：(8x1 + 10x2 6005x1+8x2 4502x1+2x2 140x1 -3x20 0三、模型求解与结果解释 根据已经建立的模型,运用图解法对该问题进行求解。建立直角坐标系,用横轴代表 x1，纵轴代表x
8、2。(1) BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？根据问题(1)约束条件：作 8x1 + 10x2 = 600 直线，令x1= 0,贝Ix2=60;令 x2=0,贝0x1=75 同理，作 5x1+8x2=450,2x1+2x2=140 两直线得图形如下：图1.1由图可知，阴影部分即为可行域范围，且当 x1 = 150/7, y=300/7 时，z 最大，此时 maxz=181135.7可得最优解为：x1 = 150/7, y=300/7综上所述，建议生产BodyPluslO0产品21台，生产BodyPlus200产品43台。该生产建议下各项约束条件情况如下：约束条
9、件耗费时间可用时间机器/焊接(h)598600喷涂/完工(h)449450组、测、包(h)128140表1.2(2) BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？根据问题(2)的约束条件，即在问题(1)的基础上增加x1-3x2 =0这一项约束条 件。因此，我们在图1.1的基础上增加x1-3x2 =0直线，令x1= 0,贝Ix2=0;令x1= 90,贝lx2=30得到图形如下：由图可知，阴影部分即为可行域范围。对比图1.1和图1.2 可行域范围明显减小。 当由此约束条件的情况下，当x1 = 150/7,y=300/7时，最大，此时maxz=181135.7 可得最优解为
10、：x1 = 150/7, y=300/7此时的建议生产量仍为BodyPlus100产品21台，生产BodyPlus200产品42台。综上所述，有BodyPlus200的产量比例约束时最大利润无影响。(3) 为了增加利润应扩展哪方面的努力？ 根据表1.2,在最优解情况下各项约束条件情况来看，可以得出如下结论：1. 机器/焊接所用时间仅比可用时间少2 小时；2. 喷涂/完工所用时间仅比可用时间少 1 小时；3. 组、测、包所用时间比可用时间少12 个小时，在其他条件允许的情况下可以再组装 6 台器械。针对上述结论，为增加利润提出如下建议：1. 增加机器制造和焊接时间的可用时间；2. 增加喷涂和完工
11、的可用时间。四、参考文献1 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇北京：机械工业出版社，2012数据模型与决策课程案例二 投资战略一、问题提出J.D.威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达12亿美元的资金。 公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资，分别投资在股票增长基金、收入基金 和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来 说，投资在股票方面的资金占总投资 20%-40%之间，投资在收入基金上的资金应确保在 20%-50%之间，货币市场方面的投资至少应该占30%。此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如
12、，威廉 姆斯的一位新客户希望投资800000 美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为 0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10，收入基金的风险指数是 0.07，货币市场的风险指数是0.01。整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率 与其风险指数乘积的代数和。此外公司预测，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益是12.5%，货币市场基 金的收益是7.5%。现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立数字 模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。管理报告（ 1）如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是
13、多少？（2）假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多 少？（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是0 . 05 ，而股票成长基金的年收益率从1 8% 下降到14%，那新的最佳投资方案是什么？（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资 于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作 出修改，那么这个模型的适用范围是什么？二、问题分析与模型建立根据案例对J.D.威廉姆斯公司三种基金股票增长基金、收入基金和货币市场基金的描述，用
14、表格形式列举出三种基金的各项基本信息，表格如下：基金类型年收益率风险指数投资限额总投资额总风险指数股票基金18%0.1020%-40%8000000.05收入基金12.5%0.0720%-50%货币基金7.5%0.0130%(1) 如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？ 设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则 目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 约束条件：r x1+x2+x30.80.16xK0.32斗 0.16x20.24、0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=
15、0.05(2) 假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多 少？设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则 目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 约束条件：f x1+x2+x30.80.16xK0.32斗 0.16x20.24、0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.055(3) 假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05,而股票成长基金的年收益率从18% 下降到14%，那新的最佳投资方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则 目标函数 maxz
