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1、数形结合思想方法在高中数学解题中的应用山西省阳泉市第一中学高 硕数形结合思想方法是高中数学学习和解题的重要思想方法，它把 “数”和“形”有机地结合在一起，可以起到以“数”助形和以“形”解“数”的目的，从而把许多复杂抽象、难以理解的数学问题变成形象、直观的问题，有助于学生更方便快捷地解题。一、数形结合思想方法的应用原则在高中数学解题中，数形结合思想方法的应用要坚持以下几点原则：一是等价原则。就是“数”的代数性质和“形”的几何性质两者在转换时要等价，也就运用图形反映的问题和数量表示的问题要有一致性；二是双向原则。就是要在解题中既要注重对“数”的抽象性进行探索，又要对“形”的直观性进行探索，避免“数
2、”或“形”单独探索给解题造成局限性；三是简洁原则。在进行数形转换过程中，尽量使图形和代数式保持简洁，以避免繁琐的计算而造成错误，这样才能更好地达到“化繁为简”与“化难为易”的解题目的，使数形结合思想的作用发挥出来；四是直观与创新原则。就是要充分利用图形和坐标系的直观性，来表示抽象的概念具体化、直观化。数形结合思想方法在解题中的运用不可照搬，需要活学活用和创新运用，才能更好发挥其功能。二、数形结合思想方法的应用策略（一）以形助数，使抽象问题变得形象直观在高中数学解题中，特别是对于一些数量关系既复杂又抽象的问题，学生难以理解，不容易找到解题的思路和方法。如果运用数形结合的思想方法，就可以把复杂抽象
3、“数”的问题用直观的图形问题来解决，这样就可以绕开冗长繁琐的数量计算的过程，利用图形能够帮助学生有效解决复杂的数量问题，使学生对题目中的数量关系能够正确理解， 即能够把题目中抽象的数量问题变成形象直观的图形问题，可以使学生容易理解题意，快速准确地找出已知条件、未知关系，就容易快速形成解题思路，快速正确找出数量关系式，从而有效突破解题难点。P例1图C1OyxC2例1：已知一个动圆P与两个定圆相外切，定圆C1方程是：（x+4）2+y2=100, 定圆C2方程是：（x-4）2+y2=4,求这个动圆P的圆心轨迹的方程。解析：此题的解答如果直接运用求解方程的方法非常麻烦，而如果运用数形结合的思想方法，通
4、过借助于两个圆图象的“形”来求方程“数”的问题就比较方便。假设动圆的圆心为P（x，y）,半径是r,从方程可以得出：定圆C1的圆心是（-4，0），半径是10；定圆C2的圆心是（4，0），半径是2。借助图形可以直观看出：动圆C与定圆C1是相内切的，与定圆C2是相外切，就能容易得出下面的式子：C1P=10-r，C2P=r+2，把两个式子相加得：C1P+C2P=10-r+ r+2=12C1C2=8，根据椭圆的定义可知点P的运动轨迹是椭圆。再根据图形可得出c=4,a=6,可求出b2=20, 动圆P的圆心轨迹的方程是x235+y220=1。点评：在本题的求解中，借助于图形的直观性，通过做辅助线的方式，很快
5、就能形成解题思路，使问题既简单又快捷地得到解决，很好地体现了“以形助数”的思想。（二）以数解形，使学生的解题思维更严谨数学作为一门非常严谨的学科，进行数学知识学习或数学题目的解题必须要有严谨思维能力做基础，许多学生在解题中，考虑数学问题的全面性、严谨性不够严谨，经常出现粗心大意的问题，造成解题错误或找不到正确的解题思路。如果学生在解决一些比较复杂的图形问题时，借助于“数”的严谨性与精确性，来找出图形中包含的数量关系，以此来解决几何图形问题，既容易找到解题思路，又能培养学生严谨的思维能力。而且对于一些几何图形问题，有时候如果仅凭直觉观察不容易找出图形的特点和规律，借助于“数”的精确性，就能深入细
6、微地刻画图形，能深入挖掘几何图形中的隐含条件，使解题更加严谨。例2:有一个圆M介于直线x=3和抛物线y2=2x所围成的封闭区间里（含边界区域），求这个圆M在此区域中能取得的半径最大值是多少？分析：从图形中可以大概看出圆半径的数值，但无法得到精确的圆半径数值。如果借助于代数的严谨、精确的计算，就能求出准确的圆半径数值。可分两种情况进行讨论：（1）不含边界时例2图OyxMX=3当圆M在这个封闭区域中不含直线和抛物线边界时，即圆M与直线和抛物线均不存在交点时，无法用联立方程组的形式进行求解。（2）包含边界时当圆M在这个封闭区域中包含直线和抛物线边界时，即圆M与直线和抛物线均存在交点时，可用联立方程组
7、的形式进行求解。根据图形可看出：圆M的圆心在x轴上，因此假设其圆心为（a,0）(0a3),这样可得圆的方程是（x-a）2+y2=(3-a)2,把圆方程与抛物线方程联立组成方程组，可得x2+21-ax+6a-9=0,=2(1-a)2-46a-9=0,再结合a的取值范围，就可求出a=4-6，因为3-aa,因此，最大半径是3-a=6-1。点评：要精确求解本题，关键是要用“数”的严谨性与精确性来求解圆半径，即要用“数”来辅助求解“形”的问题。此外本题容易忽略3-aa这个条件，这样圆M就可能超出该封闭区域。三、结语总之，数形结合思想能够帮助学生形成完整的数学知识体系，能够把复杂抽象的问题变成形象直观、容易解决的问题，能促进学生思维能力发展，因此，教师应在教学中注重渗透数形结合的思想方法，从而提高解题质量效率。
