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1、I = f 2 e - y2计算二次积分0e - x2 dx + fRo$“2e - y2R 2 - y 2 e - x2 dx0分析若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求e-x2的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法解 由所给的二次积分，我们得积分区域D二D上D2,其中c R0 y ,0 x y;兀此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有D是一个中心角为4，半径为R的扇形(图5).因兀 c 兀-0 ,42因此I = ffe -( x2+y2)dxdy = ff e-p2 pdpd0DD=f； d0fR pe-p 2 dp =
2、 (-) - - e兀 024240 p R.R 兀 =(1 一 e - r 2).8小结0计算二重积分时，适当选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不仅影响到计算的繁简，甚至会影响到计算能否 进行(2) 化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二重积分时，一般应1) 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；2) 确定p,0的范围，即在极坐标系下表示积分区域；3) 用p cos 0, p sin 0分别代换被积函数中的x，y，并把面积元素用pdpdO替代.6计算二重积分1 =吕dxdy，其中d是直线y = x，x二2解 在极坐标系下，于是兀2-4, 2C0S -P-翫丿 d0 =7迂-In C 2
3、+ J丿22dxdy = fLdPd0 = f： d0 J爲丄dpD J(P 2)32cos 0 p 2x 2 + y 2 1 1 cos 0 一-I 22 cos0及上半圆周y = 2x-x2所围成的区域.分析被积函数中含有因子x2 + y2，它用极坐标表示非常简单,积分区域的边界含有圆周，而圆周用极坐标表示也非常简单，故 我们将所给的二重积分化为极坐标来计算.D的边界方程分别表示为（图6）兀y = x tU =,4y = J2x-x2 t p = 2cos0(00 )42x = 2 t p = -cos0因此这时D可表示为I=JL1D :0小结 采用何种坐标计算二重积分，要从积分区域及被积
4、函 数两方面出发.当积分区域为圆域、圆环域、扇形域或圆环域被 从原点出发的两条射线所截得的部分；被积函数为fC2 + y2）fl,f -Ix丿Iy丿等形式时可考虑采用极坐标.不适合极坐标者用直角坐标.,_I = JJ xy + y2+ Vdxdy”小7计算 D，其中 D =分析 积分区域为圆形域，因此可考虑采用极坐标计算，注 意到积分区域关于x轴，y轴都是对称的，而被积函数中xy关于x,y 都是奇函数，y2关于y是偶函数，因此我们先用积分区域关于坐 标轴的对称性以及被积函数的奇偶性简化运算1 = xE + JJE +几砂,由于d关于x轴对称，被积函数xy关于y是奇函数，y2关于y是偶函数，又d
5、为圆域D :0 0 2 兀,0 p 2，故JJ xydxdy = 0,0 y2dxdy = 2J“ d0J2 p 2 sin2 0pd pD=2J“sin20d0J2p3dp =4“,00又D的面积为4“，故于是I=0+4“+4“ =8“小结 (1) 计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴 的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算(2) 当被积函数为两一元函数乘积，且各变量的上下界皆为 常数时，把重积分化为二次积分后，可分别各自独立的计算两个 定积分，然后将结果相乘8计算JJ J y - x 2 dxdyD其中 D : -1 x 1, 0 y 2 .分析 由于被积函数中含有绝
6、对值号，故必须先去掉绝对值号，才能进行计算.在d中y-x2的符号是不确定的，为此根据被积函数的特点，将区域D进行分割(见图7),从而使得y-x2在每解 抛物线y =兀2将d分成上下两部分,y - x 2 dxdy分别记作DiD2，于是DJ y - x 2 dxdy = JJ J y - x 2 dxdy + =JJ * y 一 x 2 dxdy +D1= J1 dxJ2-1x 2Ji0个子区域上有确定的符号jj、;x2 - ydxdyD2y - x 2 dy + J1 dxJx： x 2 - ydy-102 dx + J1 x 3 dx = + 23 o 32 .小结 被积函数中含有绝对值时，必须首先设法将绝对值符号去掉，如果在积分区域内，绝对值号内的式子的符号不确定， 应依据绝对值号内的式子的特点添加辅助线把区域进行分割，使得在每个子区域内该式有确定的符号当被积函数含有偶次根式或被积函数为一般分段函数时，也 往往要考虑将积分区域进行分割作业 习题9-1(78页) 4(4)，5(4) 总习题九(123页) 2 (3) 1（2，3），4.
