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1、公式推导过程编辑本段 诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n ( n /2)的三角函数转化为角a的三角函数。编辑本段 常用的诱导公式公式一： 设a为任意角，终边相同的角的同一三角函 数的值相等：sin (2k n + a)= sin aCOS ( 2k n + a)= COS atan (2k n + a)= tan aCOt (2k n + a)= COt a公式二： 设a为任意角，n + a的三角函数值与 a的三角函数值之间的关系：sin (n + a)= sin aCOS (n + a)= COS atan (n + a)= tan aCOt (n + a)= COt a公式三：
2、 任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin (a)= sin aCOs (a)= COs atan (a)= tan aCOt(a)= COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系：sin (n a)= sin aCOS (n a)= COS atan (n a)= tan aCOt (n a)= COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系：sin (2n a)= sin aCOS ( 2 n a)= COs atan (2n a)= tan aCOt (2n a)= COt a公式六：n /2 土与a的三角函数值之间的关
3、系:sin (n 12 + a) = cos acos (n 12 + a)= sin atan (n 12 + a)= cot acot (n /2 + a)= tan asin (n /2 a) = cos acos (n /2 a) = sin atan (n /2 a) = cot acot ( n /2 a = tan a诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余 弦，正切 变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角 a看 做锐角，不考虑a角所在象限，看n ( n /2)是第几象限角， 从
4、而得到等式右边是正号还是负号。一全正；二正弦；三两切；四余弦 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内 任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是“”，其余全部是“”；第三象限内只有正切和余切是“”，其余全部是“”；第四象限内只有余弦是“”，其余 全部是“”。编辑本段 其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式倒数关系tan a cot 1a =sin a CSCla =cos a sec a =商的关系sin a /cos a = tan a = sec a /CSC aCOS a /sin a= cot a= CSC a /sec a平方关系sinA2( a ) + cosA
5、2( al)=1 + tanA2( a ) = secA2( a)1 + C0tA2( a ) = CSCA2( a) 同角三角函数关系六角形记忆法构造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间1 的正六边形为模型。倒数关系对角线上两个函数互为倒数；商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶 点上函数值的乘积。 (主要是两条虚线两端的三角函数值的 乘积)。由此，可得商数关系式。平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式sin (a + B)= sin a cos B + cos a sin Bsin (a p) =s
6、in a cos B cos a sin Bcos (a + B) =cos a cos B sin a sin Bcos (aB)=cos a cos B+ sin a sin Btan (a+B)=(tan a+ tan B )/(1tan a tan B)tan (aB)=(tan a tan B )/(1 + tan atan B)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2 a= 2sin a cos acos2 a = cosA2( a ) sinA2( a ) = 2cosA2(1 = )1 一2sinA2( a)tan2 a = 2tan a /(1 tanA2( a )半角的正弦、余
7、弦和正切公式sinA2( a /2)(牡一cos a )/2COSA2( a /2)伴 + cos a )/2tanA2( a /2)(丰cos a )/(1+ cos a)万能公式sin a = 2tan( a /2)/(1+ tanA2( a /2)cos a=(1 tanA2( a /2)/(1+ tanA2( a /2)tan a= (2tan( a /2)/(1 tanA2( a /2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a = 3sin a 4sinA3( a)cos3 a = 4cosA3( a ) 3cos atan3 a= (3tan a tanA3( a )/(1 3ta
8、nA2( a )三角函数的和差化积公式sin a + sin B = 2sin( a + B )/2) cos( a p )/2)sin a sin p = 2cos( a + p 馴2(a p )/2)COS a+ COS B= 2cos( a + B )/2) COS( a_Q )/2)aB )/2)cos a cos B= 2sin( a + B )/2) sin(三角函数的积化和差公式sin a cos B = 0.5sin(a+B )+sin( aB )cos a sin B = 0.5sin(a+B )sin( aB )cos a-cos B = 0.5cos(a+B )+cos(
9、 aB )sin asin B=0cos(a +) cos( aB )编辑本段 公式推导过程万能公式推导sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /(cosA2(a )+sinA2(, a )(因为 cosA2( a )+sinA2( a )=1 ) 再把*分式上下同除cosA2( a )，可得Sin2 a = 2tan a /(1 +tanA2( a )然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正 弦比余弦得到。三倍角公式推导tan3 a = sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos acs2 a sin a )/(cos
10、2 a cOna a sin a)=(2sin a COSA2( a ) + COSA2( a )sin a sinA3( a )/(COSA3( a)cosa sinA2( a )2sinA2( a )cos a)上下同除以 cosA3( a )，得：tan3 a= (3tan a tanA3( 口-)/$血八2( a ) sin3 a = sin(2 a + a ) = sin2 a cos a + cos2 a sin a=2sin a cosA2( a )1-H 2sinA2( a )sin=2sin a 2sinA3( a ) + sin a 2sinA3( a)=3sin a 4s
11、inA3( a)cos3 a = cos(2 a + a ) = cos2 a cos a sin2 a sin=(2cosA2( a ) 1)cos a 2cos a SA2( a)=2cosA3( a ) cos a+ (2COS a 2COSA3( a )=4cosA3( a ) 3cos a即sin3 a= 3sin a 4sinA3( a)cos3 a= 4cosA3( a ) 3cos a和差化积公式推导首先 ,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*si nb我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(
12、a-b)=2sina*cosb所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理 ,若把两式相减 ,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的 ,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina* sinb所以 ,把两式相加 ,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理 ,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样 ,我
13、们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好 ,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形 ,就可以得到和差化积的四个公式 .我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)
