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1、高等数学课程教学辅导摘要：引入微分后,导数也叫做微商,即函数的微分与自变量的微分之商.定积分在几何上的应用不定积分的概念 (1)原函数与不定积分定义 设是定义在.关键词：微分,几何类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！高等数学课程教学辅导函数辅导学习要求1 理解函数的概念及基本性质。2 掌握函数的四则运算，理解复合函
2、数的概念。3 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像之间的关系。4 了解初等函数的概念及基本初等函数，如：多项式、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像和性质。内容指导1 函数概念函数概念是微积分的基础，也是本章的重点。理解函数概念需要把握以下几个方面：（1）对应法则（规律）和定义域是函数定义中的两个要素。在函数的定义中，包含这三个因素，即定义域、对应法则和值域，当定义域和对应法则确定后，对于定义域中每一个数，都可得到对应的函数值，从而函数值的范围（值域）就完全确定了，所以定义域和对应规律是两个要素。因此，两个函数仅当它们的对应规律和定义域都相同时，才是两个相同的函数。（2）关于由解析表达
3、式给出的函数的定义域，分两种情况：在不考虑函数的实际意义时，约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集；在实际问题中，还需根据问题的实际意义来确定。（3）记号和，有着本质的区别。表示对应规律（也可以用，表示），而， 是表示根据对应规律 所取得对应于值的数 ，即处的函数值。由于历史的原因，习惯上把“定义域上的函数”说成是“是的函数”或“函数，”。教材与本书下面的叙述中，也沿用习惯上的说法。2. 函数的性质理解函数的基本性质是本章的另一个重点。（1）奇偶性奇函数、偶函数的定义中要求定义域关于原点对称。它们的图像特点是：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。按函数的
4、奇偶性对函数进行分类，可分为四类：既奇又偶的函数，只有；奇函数，如等；偶函数，如等；非奇非偶函数，如等。判断函数的奇偶性大致有下列三种方法：（）用奇、偶函数的定义，主要考察是否与-，相等。例如，=由于= =，故它是偶函数。（）利用一些已知函数的奇偶性及下列准则：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数，也非偶函数；两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数的乘积是奇函数。例如，我们已经知道（常数函数），是偶函数，是奇函数，则用上列准则就容易得到是偶函数，是非奇非偶函数，而是奇函数。（2）单调性在函数单调性的定义中，需要注意:(
5、)在讨论的区间应当含在函数的定义域中，可能在其定义域内的不同区间内有不同的单调性。（），是应内任意两个数，且 ,总有()()(单调递增)或 ()()(严格单调递减)相应的区间成为的单调递增（或严格单调递增、或单调递减、或严格单调递减）区间。（）在内单调递增（严格单调递增），其图像特点是：沿的正向观察时，曲线不下降（上升），在内单调递减（严格单调递减）时，沿正向观察，曲线不上升（下降）。（）在定义域内单调递增（单调递减），则称为单调递增（单调递减）函数。单调递增、单调递减函数统称为单调函数。例如， 都是单调函数；而不是单调函数，因为它在区间（-，0）内单调递减，在（0，+）内单调递增。讨论一个具
6、体函数，特别是基本初等函数的单调性，可以借助于图像，依据图像的特点来判断、理解其单调性。为此，要求学员熟记主要的几种基本初等函数的图像。3. 反函数反函数的实质是它所表示的对应规律，至于用什么字母来表示反函数中的自变量与因变量是无关紧要的。我们习惯于自变量用表示，因变量用表示，因此函数的反函数通常表示成。求反函数的步骤是：先从函数中解出，再置换与，就得反函数。函数的图像和它的反函数的图像关于直线是对称的。但要注意，与是同一条曲线。用这个结论可帮助我们记忆一些函数的图像。如，和互为反函数，它们的图像是关于对称的。4. 基本初等函数（1） 幂函数： 为实数 幂函数的定义域与的取值有关，例如，的定义
7、域是 ，的定义域是00,，的定义域是0，等等。但不管取什么实数，不同的幂函数的定义域都有一个公共部分：0，函数值域也有公共部分0，且所有幂函数的图像都过点（1，1）。 读者应熟记经常遇到的幂函数 的图像，并能借助于图像理解他们的奇偶性、单调性和有界性等性质。对于其他幂函数，可先讨论每个幂函数的定义域及性质，再大致做出图像。（2） 指数和对数函数 指数函数： 对数函数： 只要，且，指数函数的定义域都是；对数函数的定义域都是；指数函数的图像都过点（0，1），对数函数的图像都过点（1，0）；且对于同一个，与互为反函数。指数函数与对数函数的图像都分成两类：一类是；另一类是.读者应熟记这两类图像的特点，
8、并借助于图像理解它们的单调性。在高等数学中，最常用的指数函数与对数函数是以为底的，即与。这里，是一个无理数，=2.718 281（3）三角函数正弦函数： 余弦函数：正切函数： 余切函数：正割函数： 余割函数：它们统称三角函数。需要注意的是：（）自变量用实数（理解为弧度）。（）在六个三角函数中，着重研究前四个。读者应理解并掌握这四个三角函数的定义域，函数值域；周期与主值区间：函数 主值区间 并熟练的做出它们的图像。 （）除是偶函数外，其余的, , 都是奇函数；在主值区间上, , 单调递增，, 单调递减，从而在主值区间上，它们都有反函数，称为反三角函数。5 初等函数有常数与上述各类基本初等函数经过
9、有限此次四则运算和有限次复合，并由一个式子表示的函数称为初等函数。6 四则运算和复合函数微积分主要研究的对象是初等函数，而初等函数是有基本初等函数经过四则运算和复合运算得到，因此，掌握函数的四则运算与复合运算是本章的又一个重点。（1）四则运算 设, 的定义域分别是与，若非空，则对于，称, , 为, 的和（差）、积、商。 对于商函数的定义域，要附加条件。例如：, 由得，因此，其定义域应从，1中除去，即（0，1）是的定义域。 （2）复合函数（复合运算）先看一个例子。设, 。考察, 时，能否构成复合函数。或者说，复合运算是否有意义？时，有，且的定义域，而的值域。由于非空，所以是复合函数，其定义域为，
10、即-1,1。当时，有，, 但, 从而为空集。所以不是复合函数。上例表明：函数与函数可以复合成为函数，或者说，能作复合运算的前提是，的定义域与的值域之交集要非空；否则不能成为复合函数，或运算无意义。另外，在讨论复合函数时还要注意：1 两个以上函数的复合与两个函数复合过程相类似。2 分解一个复合函数，正好是将几个函数复合一个函数的相反过程。具体分解时，可以从复合函数的外层往里逐层分解。极限辅导学习要求1. 理解数列极限和函数极限的概念。2. 掌握极限的运算法则，了解级数概念。3. 了解函数连续的概念，知道闭区间上连续函数的性质。4. 会求一些数列和函数的极限。内容指导极限概念是微积分学中最重要、最
11、基本的概念之一，也是微积分学的基础。理解了数列极限与函数极限的概念，掌握了极限运算，本章的其它一些概念，如函数的连续性等概念，也就容易了解它们的实质。因此，本章的重点是：理解数列极限和函数极限的概念，掌握极限的运算法则，而前者又是本章的难点。1 数列极限（1）数列的一些概念 依照某中对应法则排列着的一列数叫做数列，记作其中第项称为通项。知道了通项，该数列就容易写出，所以数列也可简表为 如果与函数概念联系起来，那么数列是一种特殊的函数，即其自变量只取正整数的函数，称为整标函数。因此，又可以记为将数列看成整标函数，有利于将数列极限的概念引申到函数极限的概念。与函数的单调性、有界性概念联系起来，容易
12、得到数列的单调性，有界性概念。设数列如果数列的项满足（即）就称是单调递增数列；如果数列的项满足 （即）就 称 是 单 调 递 减 数 列。这两种数列统称为单调数列。如果数列的所有项的绝对值都小于某一个与无关的正数，即 （）就称为有界数列；否则，称它为无界数列。例如，数列是有界数列，因为对一切正整数 都有 又如，数列是单调有界数列。容易想象，当单调递增数列有界，或单调递减数列有界时，则在数轴上表示数列各项的点都朝着一个方向移动，而又不能超过某一界限，终究要聚集在某一点附近。于是，单调有界数列必定有极限。（2）理解数列极限的概念，可以遵循“几何直观描述定义精确定义”这样一个过程。例如，数列借助于图
13、2.1看出：当项数无限增大时无限接近于1。我们就说，1为数列的极限，记作但是，观察的结果是否准确？需要用数量关系加以表达。否则，“无限增大”，“无限接近于1”都是含糊不清的。所谓当无限增大时无限接近1，无非是说，随着无限制的增大，距离将任意地小。也就是说，无论你举出一个多么小的正数来（准备同距离作比较），当充分大时，距离一定会变得比你所举出的那个正数更小些。譬如，拿小正数同距离比较吧，当充分大时，例如当时，就有不等式 倘若拿别的更小的正数同这个距离作比较，情况也是这样，当充分大时，例如当时，也有不等式 如此等等。所以概括地讲，所谓“充分大时，距离可以任意地小”，指的是：对于任意给定的一个正数，
14、不管它多么小，当充分大时（例如，总可以找到正整数当时）不等式 恒成立。这样，数列的极限为1的含义就一步一步确切了：当无限增大时，无限接近于1.当充分大时，可以任意小.对于任意给定的正数，不管它多么小，总存在一个正整数，使得当时，恒有一般地，有下列定义。定义 如果对于无论怎样小的正数，总存在一个正整数，使得当时，不等式恒成立，则称常数是数列的极限，记作 或 如果为数列的极限，便说收敛于，一个数列如有极限，便说它是收敛的，否则称它为发散的。在定义中，和这两个量的作用在于：定量地刻画了（变量）和（常量）之间的接近程度。必须是任意的，并且一旦已经给定了，就要求一定存在一个相应的正整数，使时，不等式成立
15、。因此，正整数是与正数相联系的。如果换成另一正数，那么，就要换成另一个正整数。一般来说，越小，与它相联系的就越大。（3）数列极限的几何意义我们先介绍邻域的概念。设与是两个实数，且把满足不等式的实数的全体叫做的邻域，点叫做邻域的中心，叫做邻域的半径。容易看出，点的邻域就是以点为中心，而长度为的开区间。的几何意义是：对的任意邻域，总可以找到这样一个（数列的项数），当时（即自项以后），所有的点都落在该邻域内，而只有有限个（至多只有个），在这邻域以外（图2.4）。也就是说，不管多么小，点几乎全部聚集在点的近旁。可见，数列极限的“”定义，精确的描述了当无限增大时无限接近于的这种变化趋势。因此，称它为精确定义。2 函数
