直观理解欧拉公式

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1、直观理解欧拉公式欧拉的身份似乎莫名其妙：ei 兀=1它来自一个更通用的公式：ei 兀=cos( x) + i sin( x)Yowz我们将一个虚指数与正弦和余弦联系起来！并以某种方式插入pi给出-1?这可 能是直观的吗？不是根据 1800 年代数学家 Benjamin Peirce 的说法： 这绝对是自相矛盾的；我们无法理解它，我们不知道它的含义，但我们已经证明了它， 因此我们知道它一定是真理。啊啊啊，这态度让我热血沸腾！公式不是需要记住的魔法：我们必须，必须，必须找到洞察 力。这是我的：欧拉公式描述了两种等价的圆周运动方式。就是这样?这个惊人的方程式是关于旋转的?是的我们可以通过一些类比来理

2、解它： 从数字1开始，将乘法视为改变数字的变换：1 eiK 规则指数增长在一段时间内以某种速度持续增加1；虚指数增长在一段时间内连续旋转 1 为“pi”单位时间增长意味着围绕圆圈旋转pi弧度 所以，1 鉀 意味着从1开始并旋转pi (绕一圈的一半)到-1这是高级视图，让我们深入了解细节。顺便说一句，如果有人试图给你留下深刻印象ei 兀=1，向他们询问i的i次幕。如果他们想不通，欧拉公式对他们来说仍然是一 个神奇的咒语。更新：在写作时，我认为可能有助于更清楚地解释这些想法：理解 cos(x) + i * sin(x) 等号过载。有时我们的意思是“将一件事设置为另一件事”(例如x = 3 ),而其

3、他人的意思 是“这两件事描述相同的概念”(例如V-1=i)o 欧拉公式是后者：它给出了两个公式来解释如何做圆周运动。如果我们使用三角函数检查圆 周运动，并以 x 弧度移动： sin(x)是y坐标(垂直距离) 该声明cos(x) + i sin(x)是一种将 x 和 y 坐标粉碎成单个数字的巧妙方法。类比“复数是二维的”帮助我们将单个 复数解释为圆上的位置。当我们将x设置为n，我们在旅行n单位圆外的单位。因为总周长是2 n ,老样子n 已经过了一半，让我们处于 -1。Neato：欧拉公式的右边(cos(x) + i sin(x)用虚数描述圆周运动。现在让我们弄清楚等式 的 e 边是如何完成它的。

4、什么是想象增长？将 x 和 y 坐标组合成一个复数很棘手，但很容易管理。但是虚指数是什么意思呢？让我们退后一步。当我看见，我是这样想的： 3是以In 的速率即时增长（使用e）的最终结果。换句话说3二e呻）： 34与增长到3相同，但随后增长了 4倍。所以34 = e吨）4二81您可以将数字视为必须“成长”的东西，而不是单独看到数字。实数，如3，给出的利率为In（3） = 1.1，这就是 e 在它进行时“收集”的，并且不断增长。定期增长很简单：它不断“推动” 一个数字朝着它原来的方向前进。3 X 3向原始方向推 动，使其大 3 倍 （9）。想象的增长不一样：我们赚的“利息”方向不同！它就像一个被绑

5、在侧面的喷气发动机 我们不是向前推进，而是开始以 90 度角推进。恒定正交（垂直）推动的巧妙之处在于它不会使您加速或减慢您的速度它会旋转您！取 任何数字并乘以i不会改变它的大小，只会改变它指向的方向。直觉上，我是这样看待连续的假想增长率的：“当我成长时，不要在我已经前进的方向上推 动我前进或后退。而是旋转我。”但是我们不应该越来越快地旋转吗？我也想知道。常规增长复合我们原来的方向，所以我们去1、2、4、8、16，每次乘以 2 倍 并保持实数。我们可以考虑这个em(2)x，这意味着在“x”秒内以ln(2)的速度立即增长。嘿如果我们的增长率是两倍快，2ln(2) vs ln(2)，它看起来就像增长

6、了两倍(2x vs x)。e的 魔力让我们交换速率和时间；ln(2)处的2秒与2ln(2)处的1秒增长相同。现在，假设我们有一些纯虚构的增长率(Ri)，它会旋转我们直到达到i,或向上90度。如 果我们将这个比率加倍到 2Ri 会发生什么，我们会脱离这个圆圈吗？不！具有 2Ri 的速率意味着我们只是以两倍的速度旋转，或者以 R 的速率旋转两倍的时间 但我们仍停留在圆圈上。旋转两倍的时间意味着我们现在面对 180 度。一旦我们意识到某种指数增长率可以将我们从1带到i,那么增加该增长率只会使我们旋 转得更多。我们永远也逃不出这个圈子。然而，如果我们的增长率是复数(a+bi vs Ri)，那么实部 会

7、像往常一样增长，而虚部(bi) 会旋转我们。但我们不要幻想：欧拉公式， eix , 是关于让我们留在圈子里的纯粹想象的增 长(稍后会详细介绍)。快速健全性检查在写作的过程中，我不得不为自己澄清几个问题：为什么使用ex，我们不是在旋转数字1吗？e表示从1开始并在1个单位时间内以100%的利率持续增长的过程。当我们写e时，我们用一个数字来捕捉整个过程一一e代表了持续增长的所有完整细节。所以真的， ex 是说“从 1 开始，并在 x 秒内以 100% 的速度持续增长”，然后像我们想 要的那样从 1 开始。但是作为指数的 i 是做什么的？对于像这样的常规指数 34 我们问： 什么是隐含增长率？我们从1

8、增长到3 (指数的底数)。 我们如何改变这种增长率？我们将其缩放4倍(指数的幕)。我们可以将我们的增长转换为“e”格式：我们的瞬时增长率是ln(3)，我们将其增加到ln(3) 4。同样，指数 (4) 的幕只是缩放了我们的增长率。34 = eln(3) 4 = (e ln(3)4当最高指数为i时(如3i ),我们只需将隐含增长率乘以io因此，我们不是以普通的In 增长，而是以 ln(3) * i 增长。3i = eln(3)i = (eln(3) )i指数的顶部修改了底部的隐含增长率。详细信息让我们仔细看看。记住e的这个定义:e = eioo%=lim(1 +n s1oo%那代表我们在每个微观时

9、期赚取的部分利息。我们假设实际维度上的利率是100%但是如果它在虚方向上是 100% 呢？eioo%i =lim(1 +n s1oo% i现在，我们新形成的兴趣增加了我们在90度方向上的兴趣。令人惊讶的是，这并没有改变 我们的长度一一这是一个棘手的概念，因为它似乎构成了一个斜边必须更大的三角形。我们 正在处理一个限制，额外的距离在我们指定的误差范围内。这是我想改天解决的问题，但请相信我的话：持续的垂直增长会让你旋转。这是正弦和余弦的核心，你的变化垂直于你当前 的位置，你在一个圆圈中移动。我们以无限小的增量应用i个增长单位，每个单位都以90度角推动我们。没有“越来越快” 的旋转相反，我们沿着圆周

10、爬行了 |i| 的距离。= 1(i 的大小)。嘿 - 绕圆爬行的距离是以弧度为单位的角度！我们找到了另一种描述圆周运动的方法！ 获得圆周运动：通过以 90 度角(又名假想增长率)旋转来不断变化。所以，欧拉的公式是说“指数的，想象的增长描绘出一个圆圈”。这条路径与在虚平面中使 用正弦和余弦在圆中移动是一样的。在这种情况下，“指数”这个词令人困惑，因为我们以恒定的速度绕圆运动。在大多数讨论 中，假设指数增长具有累积的复合效应。一些例子你不会真的相信我吧？这里有几个例子，以及如何直观地思考它们。例子：eix 在哪里？啊，它只是 1。直观地，不用计算器，我们知道这意味着“沿单位圆走 1 弧度”。 在我

11、的脑海中，我看到“e”试图在同一个方向上以100%的速度增长1,但我一直在移动 球并迫使“1”沿着圆的边缘增长：ei = cos(1) + i sin(1) = .5403 + .8415i不是最漂亮的数字，但确实如此。请记住在输入时将计算器置于弧度模式。例子： 3i这很棘手它不是我们的标准格式。但要记住，3i = 1 3i我们希望在周期结束时初始增长3倍，或ln(3)的瞬时速率。但是，i出现并将ln(3)的比 率更改为 i * ln(3)：3i = (e ln(3) i = e ln(3)i我们认为我们将以 ln(3) 的常规速率进行转换，比 100% 连续增长快一点，因为 e 约为 2.7

12、18。但是哦，不，我让我们转了一圈：现在我们正在以想象的速度转变，这意味着我们 只是在旋转。如果我是一个像 4 这样的普通数字，它会让我们的增长速度提高 4 倍。现在 我们以 ln(3) 的速度增长，但横向增长。我们应该期待单位圆上的复数增长率不会增加我们的规模。求解方程：3i = e ln(3)i = cos(ln(3) + isin(ln(3) = .4548 + .8906i所以，而不是在圆圈周围结束“1”个单位(比如 ) 我们最终得到 ln(3) 个单位。例子： i i几个月前，这会让我泪流满面。今天不行！让我们分解一下转换：ii =1 ii我们从1开始，想改变它。喜欢解决3i，以i为

13、基数表示的瞬时增长率是多少？嗯。通常我们会做 ln(x) 来获得在 1 个单位时间结束时达到 x 所需的增长率。但是对于虚 率？我们需要解决这个问题。为了从1开始并增长到i,我们需要从一开始就开始旋转。多快？好吧，我们需要在1个 单位时间内获得90度(pi/2弧度)。所以我们的汇率是.请记住，我们的速率必须是虚构 的，因为我们是在旋转，而不是在增长！朴素的老pi/2约为1.57并导致正常增长。这应该是有道理的：要在1个单位结束时将1.0变为i,我们应该旋转pi/2在那段时间内兀的弧度(90度)。所以，为了得到“i”，我们可以使用e2. 注i = e 2呼。这将 i 描述为基础。指数呢？好吧，另

14、一个我告诉我们改变我们的费率是的，我们花了很长时间才弄清楚这个费率！所以，而不是以速度旋转，这就是i的基数的意思，我们将比率转换为：兀兀兀i i =i =222i 取消并再次使增长率变为真实！我们轮换了利率并将自己推向负数。负增长率意味着我们正在萎缩我们应该期待使事情变小。它确实：ii = e 2 .2多田！(在百度上搜索“Si”以使用其计算器)喘口气：您可以直观地弄清楚虚底和虚指数应该如何表现。哇。兀作为奖励，你想出了 ln(i)-使ex变成i,让e旋转 弧度。2例子：(Si) 双虚指数？如果你坚持。首先，我们知道括号内的增长率是多少：兀.兀ii = (e 2) i = e i我们得到 -p

15、i/2 的负(收缩)增长率。现在我们再次通过 i 修改该速率： 兀.兀.(ii)i = (e 2) i = e 2l兀现在我们有了一个负轮换！我们以1倍的速度绕圈2每单位时间。我们去多久？嗯，在这个指数链的最顶端有一个隐含的“1”时间单位；隐含的默认值是使用 1 个时间单位(就 e = ei像)。1个时间单位给我们一个旋转-n/2弧度(-90度)或-i!(ii) i = i而且，只是为了踢球，如果我们把这个疯狂的结果平方：(ii)i)2 = 1它“只是”旋转了两倍：2 是一个常规数字，因此在单位时间内将我们的旋转速率翻倍至 -180 度。或者，您可以将其视为连续两次应用 -90 度旋转。乍一看，这些是非常奇怪的指数。但是通过我们的类比，我们可以从容应对。复杂的增长我们可以同时拥有实数和虚数的增长：实数部分让我们放大，而虚数部分让我们旋转biImReal & Imaginary Growth1,0 (initidl value)Real Growt