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1、测量不确定度评定举例A.3.1 量块的校准通过这个例子说明如何建立数学模型及进行不确定度的评定；并 通过此例说明如何将相关的输入量经过适当处理后使输入量间不相 关，这样简化了合成标准不确定度的计算。最后说明对于非线性测量 函数考虑高阶项后测量不确定度的评定结果。1) .校准方法标称值为 50mm 的被校量块，通过与相同长度的标准量块比较， 由比较仪上读出两个量块的长度差d被校量块长度的校准值L为标 准量块长度L与长度差d之和。即：sL=L+ds实测时，d取5次读数的平均值d，d =0.000215mm，标准量块长度 L 由校准证书给出，其校准值 L=50.000623mm。ss2) 测量模型长
2、度差d在考虑到影响量后为：d二L(l+oB )-L (1+a0 )s s s所以被校量的测量模型为：L = L (1 + a 0 ) + d 1 + a0 s s s此模型为非线性函数，可将此式按泰勒级数展开：L= L + d + L (a 0 ex 0) +ss s s忽略高次项后得到近似的线性函数式：L L + d + L (a 0 a 0)ss s s(A.1 )式中：L一被校量块长度；L 标准量块在20C时的长度，由标准量块的校准证书给出；sa一被校量块的热膨胀系数；a 标准量块的热膨胀系数；s6 被校量块的温度与20C参考温度的差值；6 标准量块的温度与20 C参考温度的差值。s在上
3、述测量模型中，由于被校量块与标准量块处于同一温度环境中，所以6与6是相关的量；两个量块采用同样的材料，a与a也是相ss关的量。为避免相关，设被校量块与标准量块的温度差为5fi，5fi= 6-6 ；6 6 s他们的热膨胀系数差为，S = a-a ；将6 = 6-56和a=5 +a代入式ss6a s(A.l)，由此，数学模型可改写成：l = f (l, d ,a ,6 ,S ,S )s s 6=ls + d - ls Sa6 + asS6 (A.2)测量模型中输入量S与a以及S6与6不相关了。s6特别要注意：在此式中的和6是近似为零的，但他们的不确定度不6为零，在不确定度评定中要考虑。由于S和S6
4、是近似为零，所以被测6量的估计值可以由下式得到：L=L+ d(A.3)s3) . 测量不确定度分析根据测量模型，l = f (l, d ,a ,6 ,S ,S )s s6即：l二 l + d l S 6+a S sss 6u （l）=cA.4）由于各输入量间不相关，所以合成标准不确定度的计算公式为：:c2U 2（l ） + c2U 2（d ） + c2 u 2（a ） + c2U 2（6 ） + c2 u 2（S ） + c2 u 2（S ）V s sdass 6SaaS66式中灵敏系数为：ci 二 cs 嗒二 1 （Sa6+ aS6）二 1，df1c = c = 12 dddc = c =好
5、=l 5= 03 a sSas esc = c4ef = -l 5 = 0sesac = c =f = -i e5 5a S5saSfc = c =-l a6 5e S5s se由此可见，灵敏系数c和c为零，也就是说明a及e的不确定度对测3 4 s量结果的不确定度没有影响。合成标准不确定度公式可写成(A.5):u (l) = u 2(l ) + u 2(d ) + 12e 2u 2(5 ) + 12a 2u 2 (5 )(A.5)cssas se*4) . 标准不确定度分量的评定 标准量块的校准引入的标准不确定度u(l )s标准量块的校准证书给出：校准值为l =50.000623mm, U =
6、 0.075凹(ks=3),有效自由度为v (1)=18。则标准量块校准引入的标准不确定 eff s度为：u(L)=0.075/3=25nm , v (L)=18s eff s 测得的长度差引入的不确定度u(d)a. 用对两个量块的长度差进行25 次独立重复观测，用贝塞尔公 式计算的实验标准偏差为s(d)=13nm；本次比较时仅测5次，取5次 测量的算术平均值为被校量块的长度，所以读数观测的重复性引入的 标准不确定度u(d)是平均值的实验标准偏差为s(d)u(d) = s(d) = s(d)/ Jn = 13/J5 = 5.8 nm由于s (d)是通过25次测量得到，所以u(d)的自由度匕=2
7、5-1=24。b. 由比较仪示值不准引起长度差测量的不确定度u(d)：B由比较仪的校准证书给出最大允许误差为土 0.015凹,有效期内的 检定证书证明该比较仪的示值误差合格. 则由比较仪示值不准引起长 度差测量的标准不确定度用 B 类评定, 可能值区间的半宽度 a 为 0.015pm，设在区间内呈均匀分布，取包含因子k =总。标准不确 定度u (d)为：Bu(d)=0.015pm / J3 = 8,7 nm按下式估计其自由度：v.1 缪12 u(x ).假设评定u(d)的不可靠程度达25%,计算得到v沁8 B.c. 由以上分析得到长度差引入的标准不确定度分量u(d)为：u (d) = Ju 2
8、( d) + u 2( d) = ：452 + 8.72 = 9.8 nm自由度v (d)为：effV eff ( d )=u4(d)u4(d) u4 (d)+ B +vv(9.8)4(4.5)4 * (8.7)4 * (6.7)42488二 12.6 二 1212 膨胀系数差值引入的标准不确定度U)a估计两个量块的膨胀系数之差在1X10-6 C1区间内，假设在区间内为均匀分布，则标准不确定度为：u(5 )=1 X 10-6C-1/吉=0.58X10-6-1a3自由度：估计u(5a)的不可靠程度册为10%，计算得到av (5 )二丄(10%)-2 二 502 量块温度差引入的标准不确定度u(5
9、0) 希望被校量块与标准量块处于同一温度，但实际存在温度差异温度差估计以等概率落在0.05C区间内，则标准不确定度为：u(5 )=0.05A/3 =0.029C0估计u(50)只有50%的可靠性，计算得到自由度为：V Q)=丄(50%)-2 = 22量块温度偏差引入的标准不确定度u(e)报告给出的测试台温度为(19.90.5)C,在热作用下温度的近似周期性变化的幅度为0.5C.平均温度的偏差值为：0 = 19.9 - 20 = -0.1 (C)由于测试台的平均温度的不确定度引起的孑的标准不确定度为：u(e )=0.2 C而温度随时间周期变化形成U形的分布(即反正弦分布)，则：u()= 0.5C
10、/込=0.35Ce 的标准不确定度可由下式得到：u(e )= ,-u2(0 ) + u2(A) = 70.22 + 0.352 = 0.41 C由于c = c =生=-i 5 = 0,这个不确定度对l的不确定度不 4 e 60 s 0引入一阶的贡献, 然而它具有二阶贡献.热膨胀系数引入的标准不确定度u(a )S标准量块的热膨胀系数给定为a =11.5X10-6C-i,具有一个矩S形分布的不确定度，其界限为2X10-6C-i,则标准不确定度为：u(a S)二 2X10-6C-/方=1.2X10-6C-1由于c = c = f = -i 5 = 0,这个不确定度对L的不确定度不3 as Qas 0
11、S引入一阶的贡献, 然而它具有二阶贡献.5)计算合成标准不确定度的1计算灵敏系数由标准量块的校准证书得到L=50.000623mm,被校量块与参考s温度20C之差估计为-0. 1C,标准量块的热膨胀系数 a为s11.5X10-6Ct,由这些信息计算得到:c=1 ，1c=1 ，2c=0 ，3c=0 ，4c=-l 0 = -50.000623mmX(-0.1C) =-5.0000623mmC,5sc=-l a = -50.000623mmX11.5X10-6C-i=-5.75X10-4mmC-i6 s s计算合成标准不确定度U (1)二,C2U2(1 ) + C2U2(d) + C2U2(6) +
12、 C2U2(6)+ u2(d) + 120 2U2(6 ) + 12a2U2(6 )sa s s0c1 s 25 a 60=J 2(1s )= 32 nmu(l )的自由度：v (l)=32)4二 17.3eff(25)4 (9.8)4 (2.9)4 (16.6)41812502取v=17eff6) 确定扩展不确定度要求包含概率P为0.99，由v (1)=17,查表得：efft (17)=2.90,取 k = t (17)=2.90, 0.99990.99扩展不确定度 U 二 k u (1)= 2.90, X32nm=93nm。9999 c7) 校准结果：1 =1 + d =50.000623
13、mm+ 0.000215mm =50.000838mm sU= 93nm (v =17)99eff或 l = (50.00083810.000093) mm其中土号后的值是扩展不确定度U，由u=32nm乘包含因子k=2.9099c得到，k是由自由度v=17，包含概率p=0.99时查t分布值表得到,由该扩展不确定度所包含的区间具有包含概率为 0.99。量块校准时标准不确定度分量汇总见表A.1表 A.1 量块校准时标准不确定度分量汇总表标准不确 定度分量不确定度 来源u(x)的值i灵敏系数c = f dxui(l)= |c.|u( x.)丄/1 i 1i/nm自由度vu(L)s标准量块 的校准25
14、nm12518u(d)量块长度差9.8nm19.812u(8)a量块膨胀 系数差0.58X10-6C-15.0000623mmC2.950u(80)量块温 度差0.029C-5.75X10-4mmC-116.62u (l)=32nmcl =50.000838mmU (l) = 93nm (v =17,)99eff或相对扩展不确定度U /l=1.9X10-699可见,不确定度的主要分量显然是标准量块的不确定度u(l )= 25nm。s 注：用蒙特卡洛法(MCM)验证，得到:传播输出量分布的标准偏差 u(l)=36nm,最小包含区间的半宽度U =94nm,与本规范的结果基本99 一致. 说明本规范的方法评定不确定度基本可信的.8) 考虑二阶项时不确定度的评定 前面所进行的不确定度的评定是不完全的，实际上在本案例中，测量模型存在着明显的非线性，在泰勒级数展开中的高阶项不可忽略在合成标准不确定度评定中，有两项明显的不可忽略的二阶项对u (l) c 有贡献：12U2(8 )u2(
