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1、类型探究菱形的存在性问题1. (2015甘南州第28题12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=-冷x2+bx+c，经过A (0,-4), B (x】，0) ，C (x2，0)三点，且|x2-xj=5.(1) 求b, c的值；(2) 在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；(3) 在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求 出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由.分析：(1) 把A (0，-4)代入可求c,运用两根关系及|x2-xj=5,对式子合理变形，求b；(2) 因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一
2、条对角线必在抛物线的对称轴上, 满足条件的D点，就是抛物线的顶点；(3) 由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标， 代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即 可.解答：解：(1) I抛物线y二-gx2+bx+c,经过点A (0,-4),.c= - 49又T由题意可知，X、x2是方程-x2+bx - 4=0的两个根，叫+乂:二 b，乂占2=6由已知得（X2-X） 2=25又:(x2 - xi)2= (x2+xi)2 - 4x x =&2 - 241 2 4b2 - 24=254解得b= ，当b=时，抛物线与x轴的交
3、点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去.J1b=-旦9又 Ty= - x2-四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上,x-4=-2(x+= )2+ 1,3 326 抛物线的顶点（-，竺）即为所求的点D.2 6四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（-6, 0）,根据菱形的性质，点P必是直线x= - 3与抛物线y= - gx2 -x-4的交点，3 3当乂= - 3时，y= -（- 3） 2 - x （- 3）- 4=4，33在抛物线上存在一点P （-3，4）,使得四边形BPOH为菱形.四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P
4、的坐标只能是（-3, 3 ），但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正2. （2014四川广安，第26题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴 交于点 A （-4, 0）, 8（-1, 0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D.如图（1）,若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积 为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由.如图(2),直线y=gx+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF丄x轴于点H,交QC于点F.请问是否存在这样的点D,使点D到直线CQ的距离与
5、点C到直线DF的距离之二次函数综合题考占分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;n八、(2)本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析.如答图2-1，作辅助线,求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形;本问为存在型问题.如答图2-2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出兀二次方程，求得点D的坐标.解答:解：(1)把点 A (-4，0)、B (-1, 0)代入解析式 y=ax2+bx+3，16a- 4b+3=0，解得抛物线的解析式为:(2)如答图2 - 1,y弓2呼+37Sodae=6，OA=4,S。誌 DH=33dh=2因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线
6、上，刍2+ x+3=-24 42解得：乂广-2, x2= - 3.:点 D 坐标为（-2,- ） 或（ - 3,-舟）.2 2当点D为（-2,-三）时，DH垂直平分04,平行四边形0DAE为菱形;2当点D为（-3,-弓）时，0D丰AD，平行四边形0D4E不为菱形.d-j假设存在.贝9 DM： CN=； 5： 2.CN= - m, NF=-丄m2Vs12CF=-m.ZDMF=ZCNF=90 ,/DFM=/CFN,AADMFACNF,DF ,CF CN 2.兵匸一 5 DF= CF= - m.24157:.DN=NF+DF= -m -m= -m.244?1R3又 DN=3 -(m2+ m+3) =
7、 m2 m,4 444m2 - m= - m解得：m=-m=0 （舍去）m2+ m+3=-443D(-综上所述,存在满足条件的点D,点D的坐标为(肩诗)点评：本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、相似三角形、平行四边 形、菱形等知识点.第(2)问涉及存在型问题，有一定的难度.在解题过程中，注 意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用.3. (2014遵义27.(14分)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A (3, 0), B (-1, 0)，与y轴交于点C.若点P, Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一
8、点也随之停止运动.(1) 求该二次函数的解析式及点C的坐标；(2) 当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E,使得以A, E, Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由.(3) 当P, Q运动到t秒时，AAPa沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四 边形APDQ的形状，并求出D点坐标.考点二次函数综合题.分析 (1)将A, B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c,进而可求解析式及C坐标.:(2)等腰三角形有三种情况，AE=EQ, AQ=EQ, AE=AQ.借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为X,表示其他边后利
9、用勾股定理易得E坐标.(3)注意到P, Q运动速度相同，则 APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称， 则AP=DP, AQ=DQ,易得四边形四边都相等，即菱形.利用菱形对边平行且相等等性 质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t,进而D可表示.解答 解：(1)：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A (3, 0), B (- 1, 0),解得戶需,c= - 4y=x2 - x - 4.AC (0,-4).(2)存在.如图1,过点Q作QD丄OA于D,此时QDOC,-4), O (0, 0).AB=4, OA=3, OC=4,AC=5, AQ=4.QDOC,.QD ,435
10、16作AQ的垂直平分线，交AO于E,此时AE=EQ,即厶AEQ为等腰三角形,设AE=x,贝9EQ=x,DE=AD - AE-x.在RtEDQ中,-x) 2+ () 2=x2，解得 x=5 53OA-AE=3-晋/. E (-, 0).以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E,此时QE=QA=4,.ED=AD=,524.OA-AE=3-5E （-, 0）.当AE=AQ=4时，VOA-AE=3-4=- 1, E （- 1, 0）.（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（-,29、综上所述，存在满足条件的点E,点E的坐标为（-,0）或（-,0）或（-1, 0）理由如下:VAP=AQ=t, AP=DP,
11、 AQ=DQ, AP=AQ=QD=DP,四边形AQDP为菱形，V FQOC,怔 ，34534AF= , FQ=t ,5534Q (3 - ，- t)，V DQ=AP=t ,34D (3 - t , - t)，5 5V D在二次函数y=x2 - x - 4上 ,-主t=(3-t) 2-(3-t)-4,.t=，或t=0 (与A重合，舍去)，64D (-,29、点评本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题 :意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目.4. (2014娄底27.(10分)如图甲，在 ABC中，ZACB=90, AC=4cm, BC=3cm.如果 点
12、P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它 们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t (s)(0VtV4)，解答下列问题：(1) 设AAPa的面积为S,当t为何值时，S取得最大值？ S的最大值是多少？(2) 如图乙，连接PC，将APQC沿QC翻折，得到四边形PQP C,当四边形PQP C为菱形 时，求t的值；(3) 当t为何值时，AAPa是等腰三角形？考点相似形综合题分析(1)过点P作PH丄AC于汕由厶APHsABC,得出畧=詈，从而求出AB，再根据早DL Al：-J匚i 一十=，得出PH=3-t,贝AQP的面积为：5AQPH=t (3-t)，
13、最后进行整理即可得出答案;(2)连接PP交QC于E,当四边形PQP C为菱形时，得出 APEsABC,求出AE= - t+4,再根据QE=AE - AQ, QE=QC得出-t+4= - t+2，再求t即可;(3)由(1)知，PD= - t+3，与(2)同理得：QD= - t+4,从而求出PQ= .yt2- 181+25，在厶APQ中，分三种情况讨论：当AQ=AP，即t=5 - t,当PQ=AQ, 即卩=t,当PQ=AP，即=5-t，再分别计算即可.解答解：(1)如图甲，过点P作PH丄AC于H,VZC=90,.AC 丄 BC,.PHBC,.aphsAabc,%-忑,.AC=4cm, BC=3cm
14、,AB=5cm,.PH,5- t T ，.PH=3 - t,AQP的面积为：31 RS=xAQxPH=xtx (3 - t) =(t -) 2+ -,10 8当t为秒时，S最大值cm2.o（2）如图乙，连接PPZ, PPZ交QC于E,当四边形PQP C为菱形时，PE垂直平分QC,即PE丄AC, QE=EC, apesAabc,坐逻 = ,AC AB (5 一 t) X4 AE=AB-t+4QE=AE - AQ=- t+4 - t= - t+4,QE=QC= (4 - t) = - t+2,.*.- t+4= - t+2,解得：,20V04,13当四边形PQPZ C为菱形时，t的值是器s；（3）由（1）知，PD= - t+
