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1、高2015级教案 必修4 第二章 平面向量 撰稿人：王海红2.2.1 向量加法运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能掌握向量加法的概念；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；理解向量加法满足交换律和结合律，掌握有特殊位置关系的两个向量的和；会进行三个或三个以上向量加法的运算。2、过程与方法通过对向量加法的学习，增强学生的识图和作图能力，同时通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，培养学生数形结合和化归与转化的数学思想。3、情感、态度与价值观培养学生对数学的兴趣，让学生发现数学美。【教学重点】向量加法的运算。【教学难点】对向量加法法则的理解。【教学方法】讲练结
2、合法。【教学过程】创设情境 导入新课【导语】数能进行运算，数因为有了运算而威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，从而引进了向量的运算。我们知道，位移、力是向量，在物理学中位移、力可以合成，而且合成后的位移、力仍是向量，它们可以分别认为是分位移、分力的和。从运算的角度分析，位移、力的合成可看作是向量的加法，由此启发我们，向量也可以相加，并且位移、力的合成法则，可以看作向量加法的物理模型。本节课就根据这些启发来研究向量的加法运算。合作交流 解读探究1、向量加法的定义：定义1、求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。定义2、如图所示，已知向量，在平
3、面内任取一点，作，则向量叫做向量与向量的和（向量），记作：。即： 。【说明】（1）；（若互为相反向量，则：。）（2）向量的和仍然是一个向量。2、向量加法的三角形法则：（特点：向量的“首尾相连”）在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则。其法则为：当第一个向量的终点与第二个向量的起点重合时，则以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就为这两个向量的和向量。即：。【说明】（1）运用这一法则时要特别注意“首尾相连”。如。 （2）三角形法则可用于求任何两个向量的和向量。 （3）多边形法则（三角形法则的推广）：只要个向量的“首尾相连”（即：前一个向量的终点是后一个向量的起点
4、），则以第一向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量就是这个向量的和向量。即： 。特别地：当点与重合时，它们的和为零向量。即： 。（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。【例1】已知向量，求作向量。【解】如图所示，在平面内任取一点，作，则。【练习1】课本 练习1、2【练习2】（1）；（2）。3、向量加法的平行四边形则：（特点：向量的“起点相同”） 在平面内任取一点，作，以表示向量的有向线段为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线所在的有向线段表示的向量就是向量与的和。即：。如图所示：【说明】（1）用平行四边形法则求两个非零向量的和时，要求这两个向量的起点相同，并以这两个向量
5、为邻边作平行四边形。那么以这两个向量的公共点为起点，对角顶点为终点的向量就是这两个向量的和。（2）三角形法则和平行四边形法则实质是相同的。在三角形法则中，只需将向量的起点移至点，则向量的终点就落在点处，即得向量，此时三角形法则就变为了平行四边形法则。 （3）平行四边形法适用于求不共线的两个向量的和向量。（4）两种求和法则的适用题型：三角形法则适用于首尾相连的向量求和，平行四边形法则适用于起点相同的向量求和。但当两向量共线求和时，由于不能作出平行四边形，故此时三角形法则较为合适。（5）力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。4、向量加法的性质：对于任意两个向量，有。（1）若与不共线，则
6、【如图（1）】； （2）若与共线且同向，则【如图（2）】； （3）若与共线且反向，则【如图（3）】。 （图1） （图2） （图3）5、向量加法的运算规律：（1）交换律：；（2）结合律：。【证明】（1）如图，作，使，则。，。 （2）如图： 。【说明】由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了。例如：。【练习3】课本 练习3、4【例2】课本 例2【练习4】某人在静止的水中的游泳速度为，如果他以这个速度径直游向对岸，已知水流速度为，那么他实际沿什么方向前进？速度为多少？应用迁移 巩固提高题型一：向量的加法运算【例1】化简或计算：（1） ；（2）
7、；（3）在平行四边形中（如图），对角线交于点。则： ； ； ； 。【变式1】如图，分别是梯形的边的中点，化简下列各式： ； 。题型二：向量的表示【例2】已知四边形的对角线与相交于点，且。用向量法证明：四边形是平行四边形。【变式2】如图所示，在平行四边形的对角线的延长线上取点，使，用向量法证明：四边形是平行四边形。题型三：向量加法的实际应用【例3】如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从地按北偏东的方向飞行到达地接到受伤人员，然后又从地按南偏东的方向飞行送往地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和。【变式3】已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问：（1）小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值
8、分别是多少？（2）如果小船在河南岸处，对岸北偏东有一码头，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流）当堂检测 随堂巩固1如图，分别是的的中点，则下列等式中错误的是（ ） 2、设是平行四边形外一点，如图所示，化简下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。3、已知在矩形中，则 。4、如图所示，是的边上两点，且。求证：。总结反思 拓展延伸1、三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连是常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则。2、向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合进行。课后检测 信息反馈1、课本 习题2.2A组 1、2、3、4、（1）（2）（3） 2、课时活页规范训练板书设计【教学反思】【课时活页规范训练】第 6 页 共 6 页
