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1、高2015级教案 必修4 第二章 平面向量 撰稿人:王海红2.2.1 向量加法运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能掌握向量加法的概念;会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量;理解向量加法满足交换律和结合律,掌握有特殊位置关系的两个向量的和;会进行三个或三个以上向量加法的运算。2、过程与方法通过对向量加法的学习,增强学生的识图和作图能力,同时通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习,培养学生数形结合和化归与转化的数学思想。3、情感、态度与价值观培养学生对数学的兴趣,让学生发现数学美。【教学重点】向量加法的运算。【教学难点】对向量加法法则的理解。【教学方法】讲练结
2、合法。【教学过程】创设情境 导入新课【导语】数能进行运算,数因为有了运算而威力无穷,与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢?人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发,从而引进了向量的运算。我们知道,位移、力是向量,在物理学中位移、力可以合成,而且合成后的位移、力仍是向量,它们可以分别认为是分位移、分力的和。从运算的角度分析,位移、力的合成可看作是向量的加法,由此启发我们,向量也可以相加,并且位移、力的合成法则,可以看作向量加法的物理模型。本节课就根据这些启发来研究向量的加法运算。合作交流 解读探究1、向量加法的定义:定义1、求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。定义2、如图所示,已知向量,在平
3、面内任取一点,作,则向量叫做向量与向量的和(向量),记作:。即: 。【说明】(1);(若互为相反向量,则:。)(2)向量的和仍然是一个向量。2、向量加法的三角形法则:(特点:向量的“首尾相连”)在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则。其法则为:当第一个向量的终点与第二个向量的起点重合时,则以第一个向量的起点为起点,以第二个向量的终点为终点的向量就为这两个向量的和向量。即:。【说明】(1)运用这一法则时要特别注意“首尾相连”。如。 (2)三角形法则可用于求任何两个向量的和向量。 (3)多边形法则(三角形法则的推广):只要个向量的“首尾相连”(即:前一个向量的终点是后一个向量的起点
4、),则以第一向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量就是这个向量的和向量。即: 。特别地:当点与重合时,它们的和为零向量。即: 。(4)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。【例1】已知向量,求作向量。【解】如图所示,在平面内任取一点,作,则。【练习1】课本 练习1、2【练习2】(1);(2)。3、向量加法的平行四边形则:(特点:向量的“起点相同”) 在平面内任取一点,作,以表示向量的有向线段为邻边作平行四边形,则以为起点的对角线所在的有向线段表示的向量就是向量与的和。即:。如图所示:【说明】(1)用平行四边形法则求两个非零向量的和时,要求这两个向量的起点相同,并以这两个向量
5、为邻边作平行四边形。那么以这两个向量的公共点为起点,对角顶点为终点的向量就是这两个向量的和。(2)三角形法则和平行四边形法则实质是相同的。在三角形法则中,只需将向量的起点移至点,则向量的终点就落在点处,即得向量,此时三角形法则就变为了平行四边形法则。 (3)平行四边形法适用于求不共线的两个向量的和向量。(4)两种求和法则的适用题型:三角形法则适用于首尾相连的向量求和,平行四边形法则适用于起点相同的向量求和。但当两向量共线求和时,由于不能作出平行四边形,故此时三角形法则较为合适。(5)力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。4、向量加法的性质:对于任意两个向量,有。(1)若与不共线,则
6、【如图(1)】; (2)若与共线且同向,则【如图(2)】; (3)若与共线且反向,则【如图(3)】。 (图1) (图2) (图3)5、向量加法的运算规律:(1)交换律:;(2)结合律:。【证明】(1)如图,作,使,则。,。 (2)如图: 。【说明】由于向量的加法满足交换律与结合律,因此,多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了。例如:。【练习3】课本 练习3、4【例2】课本 例2【练习4】某人在静止的水中的游泳速度为,如果他以这个速度径直游向对岸,已知水流速度为,那么他实际沿什么方向前进?速度为多少?应用迁移 巩固提高题型一:向量的加法运算【例1】化简或计算:(1) ;(2)
7、;(3)在平行四边形中(如图),对角线交于点。则: ; ; ; 。【变式1】如图,分别是梯形的边的中点,化简下列各式: ; 。题型二:向量的表示【例2】已知四边形的对角线与相交于点,且。用向量法证明:四边形是平行四边形。【变式2】如图所示,在平行四边形的对角线的延长线上取点,使,用向量法证明:四边形是平行四边形。题型三:向量加法的实际应用【例3】如图所示,在抗震救灾中,一架飞机从地按北偏东的方向飞行到达地接到受伤人员,然后又从地按南偏东的方向飞行送往地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和。【变式3】已知小船在静水中的速度与河水的流速都是,问:(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值
8、分别是多少?(2)如果小船在河南岸处,对岸北偏东有一码头,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头?(河水自西向东流)当堂检测 随堂巩固1如图,分别是的的中点,则下列等式中错误的是( ) 2、设是平行四边形外一点,如图所示,化简下列各式:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 。3、已知在矩形中,则 。4、如图所示,是的边上两点,且。求证:。总结反思 拓展延伸1、三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的,当两个向量首尾相连是常选用三角形法则,当两个向量共起点时,常选用平行四边形法则。2、向量的加法满足交换律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合进行。课后检测 信息反馈1、课本 习题2.2A组 1、2、3、4、(1)(2)(3) 2、课时活页规范训练板书设计【教学反思】【课时活页规范训练】第 6 页 共 6 页