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1、导数综合能力测试()本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1已知某函数的导数为y12(x1)，则这个函数可能是()Ayln1xByln11xCyln(1x)Dyln11x答案：A解析：对选项求导(ln1x)11x(1x)11x12(1x)12(1)12(x1).故选A.2(2009江西)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率
2、为()A4B14C2D12答案：A解析：f(x)g(x)2x.yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，g(1)2，f(1)g(1)21224，yf(x)在点(1，f(1)处切线斜率为4.3(2009辽宁)曲线yxx2在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2By3x2Cy2x3Dy2x1答案：D解析：y(xx2)2(x2)2，ky|x12.l：y12(x1)，则y2x1.故选D.4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.94e2B2e2Ce2D.e22答案：D解析：yex，yex在点(2，e2)的导数为e2.yex在点(2，e2)的切线方程为ye2xe2
3、.ye2xe2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0，e2)，S121e2e22.故选D.5已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案：D解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当xx0时，由图象知f(x)g(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当xx0时，f(x)g(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合，选D.6设y8x2lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别()A单调递增，单调递减B单调递增，单调递增C单调递减，单调递增D单调递减，单调递减答案：C解析：y16x1x.当x(0，
4、14)时，y0，y8x2lnx为减函数；当x(12，1)时，y0，y8x2lnx为增函数7下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断正确的是()f(x)0的解集是x|0x2；f(2)是极小值，f(2)是极大值；f(x)没有最小值，也没有最大值ABCD答案：D解析：由f(x)0(2xx2)ex02xx200x2，故正确；f(x)ex(2x2)，由f(x)0得x2，由f(x)0得x2或x2，由f(x)0得2x2，f(x)的单调减区间为(，2)，(2，)单调增区间为(2，2)f(x)的极大值为f(2)，极小值为f(2)，故正确x2时，f(x)0恒成立f(x)无最小值，但有最大值f(2)不正确8已知f
5、(x)x3x，xm，n，且f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间m，n上()A至少有三个实根B至少有两个实根C有且只有一个实根D无实根答案：C9已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A1a2B3a6Ca3或a6Da1或a2答案：C解析：由于f(x)x3ax2(a6)x1，有f(x)3x22ax(a6)若f(x)有极大值和极小值，则4a212(a6)0，从而有a6或a3，故选C.10要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为()A.2033cmB100cmC20cmD.203cm答案：A解析：设高为h，则半径为202h2，体积V
6、13r2h13(202h2)h13h32023h(0h20)，Vh22023.令V0，得h2033或h2033(舍去)，即当h2033时，V为最大值11(2010河南省实验中学)若函数f(x)(2m)xx2m的图象如图所示，则m的范围为()A(，1)B(1,2)C(1,2)D(0,2)答案：C解析：f(x)(x2m)(m2)(x2m)2(xm)(xm)(m2)(x2m)2由图知m20，且m0，故0m2，又m1，m1，因此1m2，选C.12定义在R上的函数f(x)满足f(4)1.f(x)为f(x)的导函数，已知函数yf(x)的图象如图所示若两正数a，b满足f(2ab)1，则b2a2的取值范围是(
7、)A(13，12)B(，12)(3，)C(12，3)D(，3)答案：C解析：由yf(x)的图象知，当x0时，f(x)0，函数f(x)是减函数；当x0时，f(x)0，函数f(x)是增函数；两正数a，b满足f(2ab)1，f(4)1，点(a，b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，b2a2的意义为阴影部分的点与点A(2，2)连线的斜率，直线AB、AC的斜率分别为12、3，则b2a2的取值范围是(12，3)，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13(2009武汉模拟)函数yxln(x)1的单调减区间是_答案：(1e，0)14已知函数f(x)x312
8、x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.答案：32解析：令f(x)3x2120，得x2或x2，列表得：x3(3，2)2(2,2)2(2,3)3f(x)00f(x)17极值24极值81可知M24，m8，Mm32.15(2009南京一调)已知函数f(x)axx4，x12，1，A、B是其图象上不同的两点若直线AB的斜率k总满足12k4，则实数a的值是_答案：92解析：f(x)a4x3，x12，1，由题意得12a4x34，即4x312a4x34在x12，1上恒成立，求得92a92，则实数a的值是92.16(2009淮北模拟)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)
9、在xa处取到极大值，则a的取值范围是_答案：(1,0)解析：结合二次函数图象知，当a0或a1时，在xa处取得极小值，当1a0时，在xa处取得极大值，故a(1,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17(本小题满分10分)设a为大于0的常数，函数f(x)xln(xa)(1)当a34，求函数f(x)的极大值和极小值；(2)若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围解析：(1)当a34时，f(x)12x1x34，令f(x)0，则x2x340，x94或14，当x0，14时，f(x)0，当x(14，94)，f(x)0，f(x)极大值f(14)12，f(x)极小
10、值f(94)32ln3.(2)f(x)12x1xa，若f(x)为增函数，则当x0，)时，f(x)0恒成立，12x1xa，即xa2x，即a2xx(x1)21恒成立，a1.18(本小题满分12分)已知函数yf(x)lnxx.(1)求函数yf(x)的图象在x1e处的切线方程；(2)求yf(x)的最大值；(3)设实数a0，求函数F(x)af(x)在a,2a上的最小值解析：(1)f(x)定义域为(0，)，f(x)1lnxx2f(1e)e，又kf(1e)2e2，函数yf(x)的在x1e处的切线方程为：ye2e2(x1e)，即y2e2x3e.(2)令f(x)0得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在
11、(0，e)上为增函数，当x(e，)时，f(x)0，则在(e，)上为减函数，fmax(x)f(e)1e.(3)a0，由(2)知：F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减F(x)在a,2a上的最小值f(x)minminF(a)，F(2a)，F(a)F(2a)12lna2，当0a2时，F(a)F(2a)0，fmin(x)F(a)lna.当a2时，F(a)F(2a)0，f(x)minf(2a)12ln2a.19(本小题满分12分)设a0，函数f(x)xax21a.(1)若f(x)在区间(0,1上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在区间(0,1上的最大值解析：(1)对函数f(x)求导
12、数，得f(x)1axx21.要使f(x)在区间(0,1上是增函数，又要f(x)1axx210在(0,1上恒成立，即ax21x11x2在(0,1上恒成立因为11x2在(0,1上单调递减，所以11x2在(0,1上的最小值是2.注意到a0，所以a的取值范围是(0，2(2)当0a2时，由(1)知，f(x)在(0,1上是增函数，此时f(x)在区间(0,1上的最大值是f(1)1(12)a.当a2时，令f(x)1axx210，解得x1a21(0,1)因为当0x1a21时，f(x)0；当1a21x1时，f(x)0，所以f(x)在(0，1a21)上单调递增，在(1a21，1)上单调递减此时f(x)在区间(0,1上的最大值是f(1a21)aa21.综上所述，当0a2时，f(x)在区间(0,1上的最大值是1(12)a；当a2时，f(x)在区间(0,1上的最大值是aa21.20(本小题满分12分)已知函数f(x)1ln(x1)x.(x
