线性分组码

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1、本章教学基本要求：掌握：1.差错控制编码的基本概念、基本原理2.线性分组码的 G、H 矩阵3.位同步理解：卷积码了解：常用的简单编码本章核心内容：一、差错控制编码的基本概念、原理二、常用的简单编码三、线性分组码 四、卷积码一、差错控制编码的基本概念、原理1. 差错编码的基本概念 差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性前提下，尽可能提高 数字通信的可靠性。差错控制的目的是用信道编码的方法检测和纠正误 码，降低误比特率。数字信号在传输过程中受到干扰的影响，使信号波形变坏，发生误 码，可以采用一些方法解决。同时设计系统时，还要合理地选择调制、 解调、发送功率等因素，采用上述措施仍难以满足性能要求，

2、就要采用 差错控制措施了。从差错控制角度来看，根据加性干扰引起的错码分布规律的不同， 把信道分为三类，即随机信道、突发信道和混合信道，对不同类型的信 道，采用不同的差错控制技术。差错控制方法常用的有以下三种：(1) 检错重发法(ARQ)：检错重发方式只用于检测误码，需具备 双向信道。收端在接收到的信码中发现错码时，就通知发端重发，直到 正确接收为止。(2) 前向纠错法(FEC)：收端不仅能检测误码，还能纠正错码。 这种方法实时性好，不需要反向信道，但纠错设备较复杂。( 3)反馈校验法：接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端， 并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重发。三种方法可以结合使用

3、2. 纠错编码的基本原理在信息码序列中加监督码就称为差错控制编码，也叫纠错编码。不同的编码方法，有不同的检错和纠错能力，增加监督码元越多，检（纠）错能力越强。差错控制编码原则上是降低 R 来换取可靠性提高。（即bP 更小）。e信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成码的类型也不同。信息码元和监督码元用线性方程组联系，所形成的码称为线性分 组码，包括汉明码和循环码。在线性分组码中，两个码组对应位上数字不同的位数称为码组距离，简称码距，又称汉明（Hamming）距离。编码中各个码组间距离的最小值称为最小码距 d ，最小码距是衡0量码组检错和纠错能力的依据，其关系如下:（1）为检测e个错码，

4、则要求最小码距d e +1，0（2）为纠正t个错码，则要求最小码距d 2t +1，0（3）为纠 正 t 个错码 ，同时 为检测 e 个错码， 则要求最 小码d e +1 +1, e t。0二、常用的简单编码（ 1）奇偶监督码：可分为奇数监督码和偶数监督码两种，原理和检错能力都相同。监督码只有一位，编码后码组中“1”的数目为奇数 是奇监督，“1”的数目为偶数是偶监督，能够检测奇数个错码，适用 于检测随机错误。（2）二维奇偶监督码：又称为方阵码，它是把上述奇偶监督码的 若干码组排成矩阵，每一码组写成一行，再按列的方向增加第二维监督 位。能检测部分偶数个错码，适用于检测突发错码，检错能力较强。（3）

5、恒比码：在恒比码中，每个码组均含有相同数目的“1”（和“0”）。由于“1”和“0”的数目之比保持恒定，故得此名。在检测时，只要计算接收码组中的“1”的数目是否对，就知道有无错误。恒 比码编码简单，适用于传输字母和符号，对二进制随机数字序列不适用。（4）正反码：正反码是一种简单的能够纠错的编码。编码的监督 位数目与信息位数目相同，监督码元是信息码的重复还是反码，由信息 码中“1”的个数而定。“1”为奇数时是重复，“1”为偶数时是反码。三、线性分组码1.基本概念（1） 分组码：先将信息码分组，然后给每组信码附加若干监督码的 编码称为分组码，用符号（n,k）表示，k是信息码的位数，n是编码组 总位数

6、，又称为码长，r二n - k为监督位数。（2） 代数码：建立在代数学基础上的编码称为代数码。(3) 线性码：线性码中信息位和监督位是按一组线性方程构成的。 线性码是一种代数码。(4) 线性分组码：信息码分组后，附加的监督码和信息码由一些线 性代数方程联系着的编码称为线性分组码。(5) 编码效率耳：指码组中的信息码元个数与码组长度的比值k r 。耳二 =1 Onn2. 线性分组码的编码原理一般说来，若码长为n，信息位为k，则监督位为r二n - k，如果希 望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置， 则要求：2 r 一 1 n 或 2 r r + k +1以汉明码为例来说明编

7、码原理。汉明码是一种能够纠正一位错码且编码效率较高的线性分组码。(7， 4)汉明码的编码效率：r4耳二1 二一，n很大时，耳T 1。n7(1) 监督矩阵：(7， 4)汉明码码位之间满足下式，其中 a a a a65一3 为信息码， a a a 为监督位。2101 - a +1 - a +1 - a + 0 - a +1 - a + 0 - a + 0 - a = 06 5 一 3 2 1 01 - a +1 - a + 0 - a +1 - a + 0 - a +1 - a + 0 - a = 065一32101 - a + 0 - a +1 - a +1 - a + 0 - a + 0 -

8、a +1 - a = 065一3210式中的“+”指模2加，改写为矩阵形式：_1110 10 0_ao4110 10 10a=0310 110 0 1a02（模2）a6 a5a10上式还可以简记为H - At = Ot或A - Ht = 0其中A = a60 = t）a50 oaa43a0H 称为监督矩阵，只要H 给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了，H的行数是监督关系式的数目，等于r。H矩阵的各行应是线性无关的。H 可化为典型监督矩阵，包含两部分：= IPI r111110(2) 生成矩阵：aaaaaaa码位之间还可以改写成下式:6543210laa a210a a Q43式中，Q为

9、一k x r阶矩阵,它为的转置Q 二 Pt =11111001011上式表明，信息位la a a a6543给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵Q就产生出监督位。将 Q 的左边加上一kxk阶单位方阵就构成一矩阵G :1000001001000 1 1 10 1100 10 110 11G 称为生成矩阵，可以由此产生整个码组，即A = a a a G6543所以如果给出码的生成矩阵，则编码方法就完全确定了。具有/ Q k形式的生成矩阵称为典型生成矩阵，得到的码组 信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。线性码具有封闭性，因此线性码的最小距离即是码的最小重量（除 全“0”外）。四、循环码1.循环码

10、的编码原理循环码是一种重要的线性分组码。这种码的编码和解码设备都不太 复杂，且有较强的检(纠)错能力。循环码具有循环性，即码中任一码 组循环一位以后，仍为该码中的一个码组。讨论循环码时，用多项式代表许用码组，码组中各码元当作是多项 式的系数，这种多项式有时称为码多项式，用T(x)表示。T(x)可以按 模运算，且运算规律符合循环性。如 T(x) 是长为 n 的许用码组，则 厂(x)二xi XT(x)在按模xn+1运算下，也是一个许用码组。生成矩阵G :在循环码中，一个(n,k)码有2k个不同码组，若用 g (x)表示其中前k - 1位皆为“0”的码组，则g (x), xg (x),xk-1 g

11、(x)都 是码组，且线性无关。找出任一 (n, k) 循环码的生成多项式，就可以构 成此循环码的生成矩阵G 。xk-1g(x)xk-2g(x)G (x)=xg(x)g(x)G 不是典型矩阵，可以通过初等变换，将其化为典型阵。2. 循环码的编码方法和编码器的构造编码方法:由循环码的构造可知，所有码多项式 T(x) 都可被 g(x) 整除。即若某多项式能被g(x)整除，且商的次数不大于k-1，则其必为码多项式。根据上述原理，编码步骤归纳如下：(1)设m(x)为信息码多项式，用xn-k乘m(x)。(2)用 g (x)除 Xn-km( x)，即xn - km( x)g (x)=Q (x) +r (x)g (x)其中， r(x) 是余式。(3) xn-km(x) + r(x)能被 g(x)整除，我们就令T(x)二 xn-km(x) + r(x),认为 T(x) 是循环码多项式。从编码的步骤看，编码的核心是如何确定式 r(x) ，找到 r(x) 后可 直接将 r(x) 所代表的编码位附加到信息位之后，完成编码。实际上， r(x) 所代表的编码位可以理解为监督位，获取r(x)可以采用除法电路。