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1、中学数学高考总复习导数的实际应用习题及详解一、选择题1(文)(2010甘肃省质检)函数f(x)x3ax2x在x1处的切线与直线y2x平行，则a()A0 B1 C2 D3答案B解析由条件知，f (1)3122a112，a1.(理)(2010芜湖十二中)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A4 B C2 D答案A解析yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，g(1)2，f(x)g(x)x2，f (x)g(x)2x，f (1)g(1)24.2把长100cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当
2、两正方形面积之和最小时，两段长分别为()A20,80 B40,60C50,50 D30,70答案C解析设一段长为x，则另一段长为100x，S()2()2x2(100x)2(2x2200x10000)令S0得(4x200)0，x50.3在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.和R B.R和RC.R和R D以上都不对答案B解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得xR.当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.4(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为()A
3、. B.C. D3答案C解析设圆柱底面半径为r，高为h，S2r22rh，h又Vr2h，则V，令V0得S6r2，h2r，r.(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()AR B2RC.R D.R答案C解析设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2r22Rhh2Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3VRhh2，令V0得hR.5要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cm B.cmC.cm D.cm答案D解析设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(400x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x.当0x时，V0；当x20时，V0所以当x时，
4、V取最大值6某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R则总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150 C200 D300答案D解析由题意，总成本为C20000100x.所以总利润为PRCP令P0，得x300，易知当x300时，总利润最大7(文)(2010安徽合肥市质检)函数yf(x)的图象如图所示，则yf (x)的图象可能是()答案D解析由f(x)的图象知，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，在(0，)上f (x)0，在(，0)上f (x)0，故选D.(理)如图，过函数yxsinxcosx图象上点(x，
5、y)的切线的斜率为k，若kg(x)，则函数kg(x)的图象大致为()答案A解析ysinxxcosxsinxxcosx，kg(x)xcosx，易知其图象为A.8(2010鞍山一中)函数f(x)ax3ax22ax2a1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()Aa Ba Da答案B解析f (x)ax2ax2aa(x2)(x1)有两个零点2和1，故由题设条件知2和1是函数f(x)的一个极大值点和一个微小值点，f(x)的图象经过4个象限，f(2)f(1)0，0，a0，cos2，则方程x3ax210在(0,2)上恰好有()A0个根 B1个根C2个根 D3个根答案B解析设f(x)x3ax21，则f (x
6、)x22ax，a2，f (x)00x2a.又(0,2)(0,2a)，故f(x)在区间(0,2)上递减，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(2)4a0.故f(x)的图象在(0,2)上与x轴有一个交点二、填空题11用长为18m的钢条围成一个长方体形态的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x2)，故体积为V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.
7、6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，高3.221.2，容积V11.51.21.8答：高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3.12(2010江苏，14)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_答案解析设DEx，则梯形的周长为：3x，梯形的面积为：(x1)(1x)(1x2)s，x(0,1)，设h(x)，h(x).令h(x)0，得：x或x3(舍)，h(x)最小值h8，s最小值8.13(2011江西会昌检测)曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21，x1,
8、2上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的一般梯形，则这一点的坐标为_答案解析设P(x0，x021)，x01,2，则易知曲线yx21在点P处的切线方程为y(x021)2x0(xx0)，y2x0(xx0)x021，令g(x)2x0(xx0)x021，g(1)g(2)2(x021)2x0(1x02x0)2x026x02，S一般梯形1x023x01(x0)2，P点坐标为(，)时，S一般梯形最大14已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为_答案d解析如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球内接正四棱柱的体积为Vx2h(
9、d2hh3)，0hd.V(d23h2)0，hd.在(0，d)上，函数改变状况如下表：由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为d.三、解答题15(2010陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，假如笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月销售量削减的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元(1)写出月利润y与x的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大解析(1)依题意，销售价提高后变为6000(1x)元/台，月销售量
10、为a(1x2)台，则ya(1x2)6000(1x)4500，即y1500a(4x3x24x1)(0x1)(2)由(1)知y1500a(12x22x4)，令y0得，6x2x20，解得x或x(舍去)当0x0；当x1时，y0.故当x时，y取得最大值此时销售价为60009000元故笔记本电脑的销售价为9000元/台时，该公司的月利润最大16(文)(2010南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是Pv4v315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析(1)汽车从甲地到乙地需用小时，故全程运输成本为Q6000(0v100)(2)Q5v，令Q0得，v80，当v80千米/小时时，全程运输成本取得最小值，
