带电粒子在磁场中的临界极值问题

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1、带电粒子在磁场运动的临界与极值问题考点解读解决此类问题的关键是：找准临界点 找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助 半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关 系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1) 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切(2) 当速度v定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(3) 当速率v变化时，圆周角越大，运动时间越长.典例剖析1磁感应强度的极值问题例1如图所示，一带正电的质子以速度v0从0点垂直射入，两个板间存

2、在垂直纸面向里的 匀强磁场.已知两板之间距离为d，板长为d, O点是板的正中间，为使质子能从两板间射 出，试求磁感应强度应满足的条件（已知质子的带电荷量为e,质量为m）.2偏角的极值问题例2在真空中，半径r=3X10-2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B= T,一个带正电的粒子以初速度V0=lXlO6m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场， 已知该粒子的比荷m=lX108 C/kg，不计粒子重力.(1) 求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；(2) 若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时V。与ab的夹角0及粒子的最大偏转角.3. 时间的极值问题例3如图所示，M、N为两

3、块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最 大值之间的各种数值静止的带电粒子带电荷量为+q,质量为m(不计重力)，从点P经电 场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面 向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为0=45，孔Q到板的下端C的距 离为L,当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1) 两板间电压的最大值U ；m(2) CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3) 粒子在磁场中运动的最长时间t.m4面积的极值问题例4如图12所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上 的a点射入图

4、中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速 度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆 形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。b口1 r带电粒子在磁场运动的临界与极值反馈训练1. 一个质子和一个a粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀 强磁场中，若它们在磁场中的运动轨迹是重合的，如图1所示， 则它们在磁场中 （）A. 运动的时间相等B. 加速度的大小相等C速度的大小相等D.动能的大小相等2. 如图3所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正、负粒子(不计重力)，从A

5、点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成。角，则正、负粒子在磁场中()A. 运动时间相同B. 运动轨迹的半径相同C. 重新回到边界时速度大小和方向相同D. 重新回到边界时与A点的距离相等3.如图4所示，一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子，不计重 力，在a点以某一初速度水平向左射入磁场区域I,沿曲线 abed运动，ab、be、cd都是半径为R的圆弧.粒子在每段圆弧 上运动的时间都为t.规定垂直纸面向外的磁感应强度方向为正，则磁场区域I、II、III三部分的磁感应强度B随x变化的关系可能是图中的 ()B4. 如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向自A点射入

6、磁场,分别从AC边上的P、Q两点射出，则()A. 从P射出的粒子速度大B. 从Q射出的粒子速度大C. 从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长D. 两粒子在磁场中运动的时间一样长5. 如图所示，宽l=1em的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内，现有一群正粒子从0点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r=5cm，则（）A. 右边界：-3cmVyV3cm有粒子射出B. 右边界：y3cm和yV-3cm有粒子射出C. 左边界：y6cm有粒子射出6.如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B,磁场方向垂 直于纸面向里.

7、许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方 向，由小孔0射人磁场区域.不计重力，不计粒子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带2RN1R2RNO2RN2RDACBN M电粒子能经过区域，其中R=mv/qB.哪个图是正确的（）X；D. 左边界：0VyV6cm有粒子射出M ； X X；X XI X XII X XX：I X II x : X：I X I7. 如图所示，相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂直于纸面的匀强磁场。 某带负电粒子由0点垂直于磁场方向射入，已知粒子速率一定，射入时 速度方向与0M间夹角的范围为0e90，不计粒子的重力，贝叽 ）A. 9越大，粒子在磁场中运

8、动的时间可能越短B. 9越大，粒子在磁场中运动的路径一定越长C. 9越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离一定越小D. 粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与9无关8. 如图12所示，边界0A与0C之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界0A上有一粒子 源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的J同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初-ff速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界0C射出磁场.已/ X X X X知ZA0C=60，从边界0C射出的粒子在磁场中运动的最长时间r图12等于T/2（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界0C射出的粒 门汕“

9、:- 子在磁场中运动的时间可能为（）9. 不计重力的带正电粒子，质量为m,电荷量为q,以与y轴成30。角的速度v从y轴上 的a点射入图9中第一象限所在区域.为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成60 角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁 场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积.a6010. 如图所示，一足够长的矩形区域abed内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀 强磁场，在ad边中点0,方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角。=30、大小 为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m电量为q, ad边长为L, ab边足够长，

10、粒子重力不 计，求：(1)粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围.(2)如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.ab；xxxx:0 xxxx|;0v : de11. 如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B1= T,方向垂直纸面向里，电场强度E=xi05 V/m, PQ为板间中线.紧靠平行板右侧 边缘xOy坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2= T,磁场 边界AO和y轴的夹角ZA0y=45. 束带电荷量q =X10-i9C的正离子从P点射入平行 板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为(0,

11、0.2 m)的Q点垂直y轴 射入磁场区，离子通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角在45。90。之间.贝V：(1) 离子运动的速度为多大(2) 离子的质量应在什么范围内现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大 小B,应满足什么条件XXXXXXXXX1丄12如图所示，M、N为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，相距为D，其右侧有一边长 为2a的正三角形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在极板M、N之间加上电压U 后，M板电势高于N板电势.现有一带正电的粒子，质量为m，电荷量为q,其重力和初速 度均忽略不计，粒子从极板M的中央小孔si处射入电容器，穿过小孔s

12、2后从距三角形A点 3a的P处垂直AB方向进入磁场，试求：(1) 粒子到达小孔s时的速度和从小孔s运动到s所用的时间；2 1 2(2) 若粒子从P点进入磁场后经时间t从AP间离开磁场，求粒子的运动半径和磁感应强度 的大小；(3) 若粒子能从AC间离开磁场，磁感应强度应满足什么条件带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解 形成原因一般包含下述几个方面1带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负 粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解如图5所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁

13、场，若带正电，其轨迹为a,若带负电，其 轨迹为 b.2磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应 考虑因磁场方向不确定而导致的多解如图6所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a,若图 5图 63临界状态不惟一形成多解图7图8带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180从入射面边界反向飞出，如图7所示，于是形成了多解4运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多 解如图 8 所示典例剖析1带电粒

14、子性质的不确定形成多解X X X X 住/日X X点X X X X X例1如图所示，直线边界MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,磁场 区域足够大.今有一质量为m带电荷量为q的带电粒子，从边界MN上某点垂直磁场方向 射入，射入时的速度大小为v,方向与边界MN的夹角为 求带电粒子在磁场中的运动时间.2磁场方向不确定形成多解例2 某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍若电子电荷量为e、质量为m,磁感应强度为B,不计重力，则电子运动的角速度可能是（）3运动方向不确定形成多解例3如图所示，绝缘摆线长为L,摆球带正电（电荷量为q,质量为m）悬于0点，当它 在磁感应强度为B的匀强磁场中来回摆动经过最低点C时速率为V,则 摆线的拉力为多大4运动的往复性形成多解例4如图11所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场I,在MOQ范围内有 垂直于纸面向外的匀强磁场II, M、0、N在一条直线上，ZM0Q=60，这两个区域磁场的 磁感应强度大小均为B.离子源中的离子带电荷量为+q,质量为m,通过小孔0进入两板间 电压为U的加速电场区域（可认为初速度为零），离子经电场加速后由小孔02射出，再从0 点进入磁场区域I,此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN,不计离子的重力.