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1、细心整理导数与极限一极限1. 概念 1自变量趋向于有限值的函数极限定义定义 ，当时，有。2单侧极限 左极限： ，当时，有。 右极限： ，当时，有。3自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：，当，成立，那么称常数为函数在趋于无穷时的极限，记为。为曲线的水平渐近线。定义2：，当时，成立，那么有。定义3：，当时，成立，那么有。运算法那么：1) 1) 假设，那么。2) 2) 假设，那么。3) 3) 假设，那么。注：上述记号是指同一变更过程。4无穷小的定义 ，当时，有，那么称函数在时的无穷小量，即 。5无穷大的定义 ，当时，有，那么称函数在时的无穷大量，记为 。直线为曲线的垂直渐近线。2无穷小的性质定理1
2、有限多个无穷小的和仍是无穷小。定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。无穷小与无穷大的关系假设，且不取零值，那么是时的无穷小。3极限存在的判别法1。 。2，其中是时的无穷小。3夹逼准那么：设在点的某个去心邻域内有 ，且确定和，那么必有 。4极限的性质1极限的唯一性 假设且，那么。2局部有界性 假设，那么，在点的某个去心邻域内有。3局部保号性I假设，且或，那么必存在的某个去心邻域，当时，有或。II假设在点的某个去心邻域内有或，且，那么或。5极限的四那么运算与复合运算设是常数，那么12345那么.6两个重要极限1； 2 或
3、。7无穷小的阶的比拟假设和都是在同一自变量变更中的无穷小量，且0，那么1假设，那么称关于是高阶无穷小量，记作；2假设，那么称和是等价无穷小量，记作；3假设，那么称和是同阶无穷小量，记作；一般状况下，假设存在常数，使成立 ，就称和是同阶无穷小量。4假设以作为时的根本无穷小量，那么当为某一正数时，称是阶无穷小量。定理1 。定理2 设，且 存在，那么。常用的等价无穷小时， 。二函数的连续性1定义 假设函数在点的某个邻域内有定义，那么在点处连续 。2连续函数的运算 连续函数的和、差、积、商分母不为零均为连续函数；连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；一切初等函数在定义区间内都是连续函数。3连续点1连
4、续点的概念 不连续的点即为连续点。2连续点的条件 假设点满足下述三个条件之一，那么为连续点： a在没有定义； b不存在； c在有定义，也存在，但。3连续点的分类：i第一类连续点：在连续点处左右极限存在。它又可分为下述两类：可去连续点：在连续点处左右极限存在且相等；跳动连续点：在连续点处左右极限存在但不相等；ii其次类连续点：在连续点处的左右极限至少有一个不存在。4闭区间上连续函数的性质1概念 假设函数在区间上每一点都连续，在点右连续，在点左连续，那么称在区间上连续。2几个定理最值定理：假如函数在闭区间上连续，那么在此区间上必有最大和最小值。有界性定理：假如函数在闭区间上连续，那么在此区间上必有
5、界。介值定理：假如函数在闭区间上连续，那么对介于和之间的任一值，必有，使得。零点定理：设函数在闭区间上连续，假设，那么必有，使得。三导数1导数的概念1定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得变更量时，函数取得相应的变更量 ，假设极限存在，那么称此极限值为函数在点处的导数或微商，记作。导数定义的等价形式有。2左、右导数左导数 右导数 存在 。2导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，从而曲线在点处的切线方程为 法线方程为 3函数的可导性与连续性之间的关系 函数在点处可导，那么函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不
6、是充分条件。 因此，假设函数点处不连续，那么点处必不行导。4求导法那么与求导公式1四那么运算 假设均为可导函数，那么， ， 其中为常数， 。2复合函数求导设，且和都可导，那么复合函数的导数为。3反函数的导数 假设是的反函数，那么 。4隐函数的导数由一个方程所确定的隐函数的求导法，就是先将方程两边分别对求导，再求出即可。5对数求导法先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。6参数方程的导数假设参数方程 确定了一个函数 ，且均可导，那么有。7根本初等函数的导数公式 ， ， 5高阶导数1高阶导数的概念： 函数的一阶导数的导数称为的二阶导数，的二阶导数的导数称为的三
7、阶导数， ，的阶导数的导数称为的阶导数，分别记为，或。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。2常用的阶导数公式 ， ， ，。3莱布尼茨公式 设和都是次可微函数，那么有 。复习指导重点：求函数的极限、连续、导数。难点：探讨分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。1求极限的方法：1利用定义语言证明。2利用极限的四那么运算法那么和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。3初等函数在定义区间上求极限：。例：。4分解因式，约去使分母极限为零的公因式。例：。5利用两个重要极限，此时需留意自变量的变更趋势。例： 但 。6利用等价无穷小替换条件：在乘积的条件下。例：。7利用无穷大和无穷小的互为倒数关系。例：求
8、。 因为，所以。8幂指函数求极限：假设，那么。9利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。2无穷小：1理解无穷小是自变量在趋向于某一点时函数极限趋向于零的过程，它与自变量的变更趋势密切相关。2驾驭利用求两个无穷小的商的极限比拟它们的阶的方法。3留意在求极限时，假如两个无穷小做加减法，那么不能做等价无穷小的替换。3连续性的判定：重点是分段函数在分段点处连续性的判定，此时需利用左右连续的概念进展判定。4连续点1驾驭连续点的分类规那么，以及如何求解函数的连续点并对其分类。对于初等函数，首先找出无定义的点，然后通过计算它的左右极限得出其类型。对于分段函数，还要探讨它的分段点。2留意对于可去连续点，可以通
9、过重新定义该点的函数值使得函数在该点连续。5闭区间连续函数的性质驾驭利用闭区间上连续函数性质来证明某个函数在闭区间上满足一些特殊性质的方法。例如要证明某个函数在一个闭区间上可以取到一个特定数值时，通常的方法是在这个闭区间内找两个函数值一般是计算区间两个端点的函数值或者假设出函数在该区间上的最大和最小值，使得它们一大一小，恰好分布在这个特殊值的两边，而后利用介值定理得出结论。当要证明方程在某个区间内有根时，可以在此区间内找两个点，使得在这两点的函数值一正一负，从而利用零点定理得出结论。5可导、连续和极限三个概念的关系： 在点可导在点连续在点有极限； 但上述关系反之均不成立。6可导的判定： 1假设
10、函数在某一点不连续，那么必不行导。 2分段函数在分段点处是否可导的判定，需利用左右导数的概念进展判定。7求导数的方法：1利用导数的定义求导数。2利用根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求初等函数的导数。3利用复合函数求导的链式法那么。4利用隐函数求导法那么。此时需留意假设在方程中出现的函数项，那么在对自变量求导时，对这一项需利用复合函数求导的法那么。例：设，求。解：方程两边同时对求导，有 ，所以。5利用反函数求导法那么。6利用参数方程求导法那么。此时需留意得到的对的导数事实上照旧由一个参数方程所确定。7利用对数求导法那么。它主要在如下两种状况中应用：i幂指函数求导； ii需求导的函数
11、由许多因式利用乘除法结合得到。8分段函数在分段点处需利用左右导数求导。第3章 微分学的根本定理内容提要一微分1概念微分的定义：设函数在点处可微，给定自变量的增量，称对应的函数增量的线性主部为函数在点处的微分，记作或。2常用的微分公式 为常数 ， ， 3微分运算法那么1四那么运算；。2复合函数微分假设，那么 。4微分形式的不变性 假设，那么有 。5微分在近似计算中的应用 当很小时，有： ，。二微分中值定理1罗尔定理：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，那么必存在，使得 。2拉格朗日中值定理：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么必存在，使得成立 。推论1 设函数在闭区间上连续，开区间内
12、可导，假设对随意有那么在上恒为常数。推论2 假设在内恒有，那么存在常数，使得，。3柯西中值定理：设函数和均在闭区间上连续，在开区间上可导，且它们的导数不同时为零，又，那么必存在，使得成立。4有限增量公式 假设函数在上连续，在上可导，那么，。或 ，其中，。三洛必达法那么1型的洛必达法那么：假设和满足1；2和在内可导，且；3，那么。把改为等，法那么照旧成立。2型的洛必达法那么：假设和满足1；2和在内可导，且；3，那么。把改为等，法那么照旧成立。3其他待定型： ，。复习指导重点：微分计算，中值定理的应用，利用洛必达法那么求极限，泰勒公式。难点：中值定理的应用。1中值定理的应用1留意中值定理的条件只是充分条件
