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1、“木板钻孔”的启示 谈几何证明题的分析几何证明一直是困扰学生的一大难题，教会学生“怎么做”很简单，只要教师会做就行；教会学生“怎么想”就不那么容易了，学生也只有学会了“怎么想”，才能够“青出于蓝而胜于蓝”。因此，告诉学生“怎么想到这么做的”是数学教师的一个基本技能，笔者就多年的教学实践谈谈几何证明题的分析。木板钻孔实验 器材：一块木板；工具：一把小锥子；要求：给木板钻孔并总结方法。结论：先在一面钻，有困难了，把木板翻过来，选准位置再钻，还有困难，再把木板翻过来钻，直至把木板掏通。证明题就相当于在已知与求证之间形成的无形木板，证明过程也就是用工具（定义、定理）把它打通（找到从已知到结论的因果关系
2、）的过程。先从题设出发，看看由条件能得到什么；再从结论出发，看看要证明这个结论就是要证明什么，还有什么条件没有考虑到，与结论有什么关系。如此反复，最终找到二者的切合点，这就是分析的一般思路，也就是通常所说的“两头凑”。1 “熟悉工具”分析的前提 要给木板钻孔必须先熟悉工具的性能和使用方法。同样，要学会分析，就必须掌握定义、定理的特征及适用环境，这是学会分析的前提。掌握定理不等于就会应用定理。要能够应用定理必须明确定理的条件特征、结论特征、图形特征，只有明确了不同定理的各自特征，才能在分析问题时有的放矢，突破难关。人教版初中教材中三个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理
3、、直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，都有相同的结论特征，因此涉及到有关线段的几倍问题就常常要考虑这三个定理，但究竟用哪个定理还要结合题目看图形特征和条件特征。 角平分线的性质定理、等腰三角形的“三线合一”定理，这些定理学生老绕弯子，常常不能自觉使用，而是再证明，原因在哪里？这些定理的题设往往是几个条件，只要让学生注意到这样的组合条件特征，稍加留意，还是能直接运用的。平常可以要求学生养成把条件标在图中的习惯，更容易看出组合条件。证明两条线段相等的方法有多种，但是不同的方法都有不同的图形特征。如果两条线段有公共端点，“等角对等边”是首选；如果两条线段分别在不同的三角形中，全等三角形是常
4、用的工具；如果两条线段是某个四边形的对角线我们就应该考虑运用矩形的性质。看看湖南2009年的一道中考题，如图1，ABC中，AB=AC, AD、AE分别BAC是和BAC外角的平分线，CEAE.求证：(1)DAAE.(2)试判断AC与DE是否相等？并证明你的结论。只要学生明确了矩形对角线相等的图形特征，想到应用矩形对角线相等解决这个问题应该是很自然的。图12 “运用工具”分析的方法要给木板钻孔，必须会运用工具，变换手段，排除障碍。要学会分析，必须能克服困难，不断变换分析的角度和方法。2.1 “借果索路” 逆向思维的分析方法问题的结论正是我们要证明的内容，显然是不可以作为条件应用的，但是当我们的分析
5、无法继续进行的时候，我们可以借助结论来探寻分析的思路，也就是假设结论成立，看看能得到什么等价结论，通过分析等价结论探索到解题的思路。在和学生分析证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的时候，普遍的障碍就是想不到通过证明两个角相等来证明直角，老师在和学生分析的时候可以借助要证明的ABC是直角，提出这样一个问题，如果ABC是直角（图2），你能得到什么结论（DCB=900，从而ABC=DCB）？那么如果能证明了ABC=DCB，能不能证明ABC是直角呢？这样学生就可以想到通过证明两个角相等来证明直角。在这里就是把要证明一个直角转化为证明一个与之等价的ABC=ACB，从而分析可以继续进行。在遇到各种证明比
6、较困难的时候，可以尝试这样的“借果索路”法。图22.2 “由点探路”特殊到一般的分析方法著名数学家G玻利亚说过：“直线是用两点确定的，类似的，很多新的结果是通过在两个极端情况之间的一类线性插值的方法得到的”。他告诉我们的就是可以通过特殊情况的研究探讨出解决问题的一般思路。例1 如图3，XOY=900，点A、B分别在射线OX、OY上移动，ABY和BAO的平分线相交于点C，求证：ACB是定值。图3处理这个问题，可以设计一个很简单的计算：若BAC=400,求C。通过这个问题的思考，学生很自然想到假设A=m0（只是把40换成了m，思路步骤基本一样），探索到ACB的定值。在几何问题中，从特殊情况出发，探
7、讨出一般结论的方法是随处可见的。特殊情况尤其是赋予了具体的数值，比较容易探索，由此向一般情况的探讨，由易到难，符合学生的认知规律。“一个想法使用一次是技巧，经过多次使用就可成为一种方法。”指导学生分析几何问题时如能经常使用，学生自然能养成这样的思考习惯。3 “升级工具”分析的捷径在给木板钻孔的时候，如果能够有个更好的工具（如电钻），那就简单了许多。同样，在分析几何问题时如果有更多的定理可以运用，就能提高探索思路的速度。初中生目前能用的只是有限的几个定理，引导学生在平常的学习中要注意“升级工具”，提高分析的能力和速度。有些证明段落、证明模式、组合图形经常要用到，如果能够把整个板块装在脑子里，等于
8、拥有了“先进的组合工具”，跨越了思维细节，提高了分析的速度。如我们经常会遇到这样的证明模式：两角互补，那么他们一半的和就是900；两组直线垂直，就能通过互余证明相等的角；平行线遇到角平分线就有等腰三角形，这里给出几个图形（图4, 图5），图形尽管是千变万化的，但证明模式却是一样的。 图4 图5例2 （人教版八下102页第6题）如图6，AEBF，AC平分BAD，且交BF于点C，BD平分ABC，且交AE于点D，连接CD。求证：四边形ABCD是菱形。图6这个问题中，由AEBF，AC平分BAD，可得BA=BC； 由AEBF，BD平分ABC，可得AB=AD. 这样一眼就看出AD = BC. 留意这样的基
9、本图形，留意这样的组合条件，分析问题就好像走上了“高速公路”。4 “活用工具”分析的技巧4.1 “先来后到”选择思路的原则给木板钻孔的时候，需要选择一个合适的位置下手，才易于打通。同样几何证明题也存在这样的问题。在分析探究证题思路的时候往往会出现多个可以选择的设想，如要证明一个四边形是平行四边形就有五种方法，要证明一个四边形是菱形有三种证法，如果从四边形说起的话就有十多种。我们不可能每条思路都去试验是否可行，凭解题的经验和感觉选择思路就是一个基本技能。在考试的时候因为某一个几何问题而耽误很多时间的情况是很常见的，这通常是掉进了“美丽的陷阱”，走进“死胡同”，最终考试结束都没能走出来。而有的同学
10、却能在很短的时间内突破障碍解决问题，思路的选择是决定性的因素，这里提供一个选择分析思路的原则“先来后到” 的原则。 几何图形的发生，几何题目的叙述都有先来后到，往往最后出现的几何元素的条件是最少的，我们一般不考虑选择他们作为解决问题的突破口，这就是“先来后到” 的原则。例3 如图7， RtABC中，BAC=900，AD是斜边BC上的高，ABC的角平分线BE交AC于E，交AD于F, EGBC, 垂足为G, 连接FG, 求证：四边形AFGE是菱形。图7在这个问题的叙述过程中描述了图形发生的先后顺序，对于四边形AFGE来说，边FG是最后连接而成，因此涉及到与FG有关的边和角的条件往往是比较少的，一般
11、不考虑通过涉及到FG的关系（如FG=AE，FGAE, FGE=A等）来证明，甚至可以在图形中擦掉这一条线段，这样就排除了好多方法，少走了弯路。“先来后到”的原则虽说不能让学生一下子知道怎么做，但至少可以回避不该走的弯路，节约了思考时间，避免掉进陷阱而出不来。4.2 “究竟是谁惹的祸”探究思路的诀窍当我们翻过木板到另一面钻孔的时候，需要找准对面的那个位置，才易于打通，同样几何证明题也存在这样的问题。在综合分析问题的时候有好多的条件，这些条件又能得到更多的结论，常有学生从考场出来后会说：“我怎么没有想到利用这个条件呢？” ，这样的情况往往是忽略了或没有重视某个条件，尤其是需要重复使用的条件和隐含条
12、件。那么究竟怎样在众多的条件中寻找关键条件，怎样不至于遗忘某个条件，又怎样挖掘出隐含条件呢？我提供一个挖掘关键条件、探究分析思路的诀窍“究竟是谁惹的祸”。 例4 如图8，点E是正方形ABCD的边AB的中点，连接DE，将ADE沿DE翻折得到DEH，延长EH交DC的延长线于点M，探究CM：CD的值。图8这里的条件很多，隐含条件也很多，学生普遍不知从何下手，这时候我们可以问这样一个问题：究竟是什么影响到CM:CD的值？不难发现就是EH的位置决定了M的位置，从而决定了这个比值，就是EH“惹的祸”，而EH的位置取决于DEH，这样就挖掘出隐含条件（DEH=AED），也是解决问题的关键条件，得到EM=DM,
13、 设CM为x，若正方形边长为1，在DHM中利用勾股定理解决问题。这就是探究思路的诀窍。5 “气功态” 分析问题的最高境界气功态又称入静，气功书籍定义是练功者在练功过程中，在意念集中和神志清醒的情况下出现的高度安静的一种练功状态。条件结论二者兼顾，各种方法同时运用，猜想推理融为一体 ，调动脑中的所有“内存”，汇聚题中一切信号，这时候就会有一种感觉出来了，出来了！这就是解题时的“气功态” 。“气功态”是分析问题的最高境界，一旦进入“气功态”，几乎没有解决不了的问题。那又怎么引导学生进入“气功态”？5.1 适时提问 引领思考 先让学生自己思考，观察表情，如果学生无法自己展开思索，教师适时、适度（难度
14、）、适量提问，这条题目已知了些什么呢，又要证明什么呢，怎么会这样呢，每一个问题前后都要观察学生的表情，一切问题都要让学生可以有所思索，鼓励学生自我提问，教师可以连问多举，问而不答，只是创设情境，制造矛盾，置学生于混沌、苦恼、矛盾之中，要让问题成为学生不解不快的问题，这样引领学生思考，让每个学生成为矛盾的设计和制造者，而不是思维活动的旁观者。5.2 分解难度，培养信心 如果观察到学生还有难度，展开艰难，这时学生容易再次退出思考，教师可以通过多种手段分解难度，培养信心。可以语言引领：你在想什么？你要干什么？你还少什么？还有什么条件没有考虑到？究竟是谁“先来后到”？究竟是谁“惹的祸”？可以分解图形：
15、提示升级工具，提示有没有什么条件特征、图形特征（组合图形），教师只是在旁边画出来，不必多说，只是给学生信息。也可以提示学生自己画图，寻找各个条件之间的联系。在引导学生进入状态的过程中，教师的引导只能是含而不露，指而不明，开而不达，引而不发，他可以是一种启迪,为迷路的学生恰当地辨明方向，也可以是一种激励，为畏难的学生点燃精神的火炬。5.3 心理暗示，点燃激情观察学生的思考状态：学生的表情、动作，笔在图形中的记号等等，如果发现学生开始进入状态，及时鼓励。“你可以想到了”、“你完全有这个能力”、“快了”点燃学生的激情，这时鼓励学生自言自语，鼓励学生手舞足蹈，继续通过启发性语言旁敲侧击，引导学生沿着不同的方向和途径去思考，学生的大脑呈现出一种扩散状态的思维模式，同时考虑已知与求证，这时就学生处于一种开放的思维状态气功态。5.4 坚持到底，云开雾散 一直观察学生的思考状态，教师能感觉到学生内心激烈活动，动作加快，甚至面红耳热，有点急切，有点欣喜，有时学生会自言自语“我再理一理”，如果没有自言自语，教师可以引导“你已经想到了，你再理一理”，稍等片刻，实在不行轻轻点拨，这时学生一定能茅塞顿开，
