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1、高2012级高二下立体几何复习一、 基础知识回顾：（一）、空间几何体的结构特征：多面体（1）、棱柱的侧棱都 ，上下底面是 的多边形。（2）、棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公定点的三角形。（3）、棱台可有平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是 多边形。旋转体（1）、圆柱可以由 绕其任一边所在直线旋转得到。（2）、圆锥可以由直角三角形绕其 所在直线旋转得到。（3）、圆台可以由直角梯形绕其 所在直线或等腰梯形绕上下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。（4）、球可以由半圆或圆绕 所在直线旋转得到。由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。空间几何的面积和体积
2、1多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠
3、的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。3.空间几何体的三视图及直观图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使=450（或1350），它们确定的
4、平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。（二）、点、线、面关系：1、空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形 符号语言 文字语言（读法） 图形 符号语言 文字语言（读法）点在直线上 直线在平面内 点不在直线上 直线与平面无公共点点在平面内 直线与平面交于点点不在平面内 直线、交于点平面
5、、相交于直线（平面外的直线）表示（）或2、平面基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：确定平面；证明两个平面重合 公理3如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推
6、理模式：且且唯一如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法附：（了解）公理2的推论：推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推理模式：存在唯一的平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得3、空间线面的位置关系 共面 平行没有公共点(1)直线与直线 相交有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内有无数个公共点(2)直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点
7、(直线在平面外) 相交有且只有一公共点(3)平面与平面 相交有一条公共直线(无数个公共点)平行没有公共点附：证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.4、平行关系： 线线（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。线面（1）据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点（2）如果平面外的一条直线和这个平面内的
8、一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（3）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（4）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面（5）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面面面（1）定义：没有公共点（2）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（3）垂直于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一平面的两个平面平行5、 垂直关系线线（1）定义：成角（2）直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直（3）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（4）在平面内的一条直线，如果和这个平面
9、的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直（5）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直线面（1）定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（5）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面（6）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面面面（1）定义：两面成直二面角,则两面垂直（2）一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个
10、平面垂直于另一平面请各位同学自行补充图形和数学符号空间角：1两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a a，b b，把直线a和b所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 2直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角规定： 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角； 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角其范围是 。3二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角4二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 附：
11、1、二面角的求法：（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。2、 三角形的心:内心：内切圆的圆心，角平分线的交
12、点;外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点;重心：中线的交点;垂心：高的交点空间距离：（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，一般利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离：一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；例题讲解：例1（1）正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点MCODABMB1C1D1A1求证：点C1、O、M共线证明：A1ACC1确定平面A1CA1C面A1C O面A1C
13、OA1C面BC1D直线A1CO O面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上C1、O、M共线（2）、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，ABECDFA1B1C1D1求证：(1) E、CD1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点证明(1) 连结A1B 则EFA1B A1BD1CEFD1C E、F、D1、C四点共面(2) 面D1A面CADAEFD1C 且EFD1CD1F与CE相交 又D1F面D1A，CE面ACD1F与CE的交点必在DA上CE、D1F、DA三线共点例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值BMANCS证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QNSMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB例3.如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积 解析：（1）连结，如图，在中，、分别为，的中点，则平面 （2）（3）平面
