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1、13 集合、映射及代数运算思考题1如何用语言陈述“ B匸A”？定义4：设B u A，且存在a e A但a电B，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。思考题2：若B u A，但B不是A的真子集，这意味着什么？定义5：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.结论1：显然，A = B o A u B且B u A.（4）集合的运算集合的并：A U B = 4|x e A或x e B集合的交：4|x e A 且x e B集合的差：4|x e集合在全集内的补：A二4|x e 集合的布尔和(对称差)：A B =|x e A或x e B但 x 电 A n B= (A - B) U
2、 (B - A)二(A U B) - (A n B) 集合的卡氏积：Ax B = fa,b)a e A且b e B卡氏积的推广：令A , A，,A是m个集合，那么由它们做成的卡氏积为：12 mA = A x A x x A a ,a，,a )la e A ,i = 1,2,mi12m12m iii=1课堂练习：which of the following rules are algebra operations on the indicated set?1、 a。b = Jab, on the set Q.3、a。b is a root of2、 a。b = a In b, on the se
3、t (|x e R and x 0the equation x2 - a2b2 = 0,on the set R.4、Subtraction, on the set Z.5、 Subtraction,on the set w|n e Z and n 046、 a。b = a 一 b, on the set izln e Z and n 0Solution:1 、 when a = 1and b = 2 n a。b =纟 Q.2、 when a = 1 and b = / n a。b = In f 0.2 212 - 33、when a = 2, b = 3 n a。b = -2 - 34、Ok
4、ay.5、when a = 2 and b = 5 n a。b = 一3 1时，M (F),不是可换半群。n若M (F)表示一切非零矩阵(n阶)组成的集合，那么必n (F),+和必n (F),都不是 半群了(为什么？)例3、设A = 123,4，而S = P(A) A的全部子集构成的集合，通常叫做A的幕集。那么S,及S,U都是有限可换半群。二、monoid (幺半群)定义3、设A,。是一个代数体系，如果A中存在一个特殊的元素，具有性质：Va e A都有ea = ae = a，那么称e为A的关于“。”的单位元(恒等元)。结论1：若A,。中有单位元e,那么单位元一定是唯一的.证明：设e , e都是
5、A的单位元，n e = e e = e .1 2 1 1 2 2定义4：设G,。是一个半群，如果G中含有单位元e,那么称G,。为monoid，通常写为G ,。, e.例4在例1中，乙Q, C, N*关于“+”都是monoid，因为有单位元0而关于“ ”也是monoid，因为1是单位元。三、群定义5：设G,。,e是一个monoid，如果对a e G ,满足：3a e G,使aa = a a = e ,那么称a是a的逆元(正则元)。结论2：若a在monoidG,。,e中有逆元，那这个逆元是唯一的，所以，可以将a的逆元同意记为a-1.证明：设aa都是a的逆元，那么aa = a a = e,且aa = a a = e,于是a = ea = (a a)a = a (aa ) = a e = a .定义6：(群的定义)设G,。,e是一个monoid，如果G,。,e中每个元素都有逆元，则称G ,o,e是一个群。说的更具体一点：G对“ o ”来说是一个群应满足下列四条：（1）“ o ”在G中是封闭的（即“ o ”是代数运算）（2）“ o ”满足结合律（即G,o是半群）（3）G,。中有单位元e，（即G,。是 monoid）（4）G,o中每个元都有逆元（即G,o是群）课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是群？为什么？1、Z,+ 2、Z,
