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1、1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： 、 A 和 a 的大小无关； ij ij 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|a| ；3. 代数余子式和余子式的关系：M = （-l）i+jAA = （-l）i+jMijijijij4. 设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D = （-1）Td ；n(n1)2 D ；11将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D，则D = （1） 22将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D = D ；3
2、3将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D =D；5.44行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积; 、副对角行列式：副对角元素的乘积x （-1）* ； 、上、下三角行列式（I、| = 1 kl）:主对角元素的乘积; 、|匚|和|丄|：副对角元素的乘积x（-1）2、拉普拉斯展开式:=All、=(_1)m n 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;6. 、特征值；对于n阶行列式AI，恒有：I入E A = n +丫 （-l）kS Xn-k，其中S为k阶主子式; kkk=17.证明IaI = o的方法:、IaI = -IaI ； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = o，证明其有非零解
3、; 、利用秩，证明r（A） n ； 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：o IaI丰o （是非奇异矩阵）；o r（A） = n （是满秩矩阵）o A的行（列）向量组线性无关;o齐次方程组Ax = 0有非零解；o Vb e Rn, Ax = b 总有唯一解；o A与E等价；o A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A 的特征值全不为 0；o ATA 是正定矩阵；o A 的行（列）向量组是 Rn 的一组基o A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A : AA* = A*A = AE无条件恒成立;3.( A-1 )* = ( A* )-1( A-1 )T = ( AT )-1
4、(A*)T = ( At )*(AB)t = BtAt( AB)* = B* A*( AB ) -1 = B -1 A -14.5.1.II、(B(A-i1O)B丿-1A)O丿-1C)B丿-1O)B丿-1A-12(A-/ O( A- i(OOB-iA；1丿、B-1、O丿；（主对角分块）；（副对角分块）-A-1CB-1 )B-i丿O)(一 B-iCA-i B-i 丿；（拉普拉斯）；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组一个m x n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:F=(E O)r(O O丿mxn等价类:所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其
5、形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r（A） = r（B）o B ；2. 行最简形矩阵:矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：，则:As丿 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A, E) r (E, X)，则 A 可逆，且 X = A-1 ；、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-iB，即：(A,B)(E,A-iB)；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax = b
6、，如果(A,b)二(E,x)，则A可逆, 且 x = A-ib ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列 矩阵；、，左乘矩阵A，九乘A的各行元素；右乘,i九乘A的各列元i素；1丿如：如：、对调两行或两列，符号E(i, j)，且E(i, j)-i二E(i, j)，例如:I 1丿、倍乘某行或某列，符号E(i(k)，且E(i(k)-1 = E(i(|)(k 主 0)；f 1k、-1f1-k、11, 1丿1丿某(k 丰 0)；倍加1丿行或某列，符号 E(ij(k),且 E(ij(k)-i = E(ij(-k),5. 矩阵秩的基本性质
7、： 、0 r(A ) min(m,n)；mxn 、r (At )二 r (A)； 、若，则 r(A) = r(B)； 、若P、Q可逆，则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) + r(B);(探 、r(A + B) r(A)+r(B);锲 、r(AB) min(r(A),r(B)；(探 、如果A是m x n矩阵，B是n x s矩阵，且AB = 0， U：(探丨、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；II、r(A) + r(B)r(A) + r(B)-n ;6. 三种特殊
8、矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用 结合律；1 a c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式；0 0 1 丿二项展开式：(a + b)n = Coan + C1 an-1b1 + + Cman-mbm + + Cn-lfllbn-1 + Cnbn 二 丄 CmUmbn-m ；nnnnnnm = 0 注：l、(a + b)n展开后有n +1项；I、 C mnC 0 = Cn = 1nnn(n -1)(n - m +1)n!123mm !(n 一 m)!III、组合的性质：Cm = Cn - mnn、利用特征值和相似对角化：Cm = Cm +
9、 Cm-1 n +1nnX Cr = 2nnr=07. 伴随矩阵：nr( A) = n、伴随矩阵的秩：r(A*)= 1r(A) = n-1；0r(A) n -1rCr 二 nCr-1 ；nn -1、伴随矩阵的特征值：単(AX二九X,A* = AA-O A*X = X); 入入、A* = lAlA-1、A* = Ain-18. 关于A矩阵秩的描述： 、r(A)二n , A中有n阶子式不为0, n +1阶子式全部为0;(两句话) 、r(A) n , A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组：Ax = b，其中A为m x n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有m个方程； 、n与方程
10、组得未知数个数相同，方程组Ax = b为n元方程；10. 线性方程组Ax = b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:a x + a x + a x = b1111221nn1、a x + a x + a x = b2112222nn2a x + a x + a x = b m11 m 22nm n nx )1x.2aa a11121n、a21a22 a .2n aa am1m2mn个未知数）n人丿(b)1bo Ax = b （向量方程，A为m xn矩阵
11、，m个方程,、+ a x22线性表出）+ +a x = Pn n有解的充要条件：r（A） = r（A,P）n （n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性ax112、（a a1 2- a )n(x、1x.2=P （全部按列分块，其中P =(b)1b2丄丿:b丿）；bm丿m个n维列向量所组成的向量组A : a,a,a构成n x m矩阵A = （a ,a，,a ）；、 丿 T 1 T 2 T m p p p 厂 J12m12mm个n维行向量所组成的向量组B :卩t,卩t，,卩t构成m xn矩阵B =12m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 、向量组的线性相关、无关 o Ax = 0有、
12、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出o Ax = b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示o AX = B是否有解；（矩阵方程）矩阵A 与B 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解; mxnlx n（P 例 14）1014.5.r（ATA）=r（A） ；（P 例 15）101n维向量线性相关的几何意义： 、 a 线性相关 、a，卩线性相关 、a,P,y线性相关o a =0；o a,卩坐标成比例或共线（平行）； o a，卩,y共面；6.线性相关与无关的两套定理：若a ,a，,a线性相关，则a ,a，,a ,a 必线性相关；1 2s1 2s s+
13、1若a ,a，,a线性无关，则a ,a，,a 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为1 2s1 2s-1对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的 维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r）能由向量组B （个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s （二版样定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A) r(B);(代6定理3) 向量组A能由向量组B线性表示o AX = B有解；o r(A)二r(A,B) (P 定理 2)85向量组A能由向量组B等价or(A)二r(B)二r(A,B) ( P定理2推论)858. 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P，,P，使A = PPP ；12l1 2 l 、矩阵行等价：A B o PA = B (左乘，P可逆)o Ax = 0与Bx = 0同
