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1、线 性 代 数 试 题 （ 卷 ） 与答案解析详解线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号:姓名：题号一一一二二三三四五六七总分得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分，共30分)1 设A经过初等行变换变为B，则()(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵代B的秩)。(A) r(A) r(B) ；(B) r(A) r(B)；(C) r(A) r(B) ；(D) 无法判定r(A)与r(B)之间的关系。2 设A为n (n 2)阶方阵且| A| 0,则()。(A) A中有一行元素全为零；(B) A有两行(列)元素对应成比例；(C) A中必有一行为其余行的线性
2、组合；(D) A的任一行为其余行的线性组合。3.设A,B是n阶矩阵(n 2), AB O,则下列结论一定正确的是：()(A) A O 或 B O;(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX =0的解.(C) BA 0;(D) R(A) R(B) n.4 下列不是n维向量组2,., s线性无关的充分必要条件是()(A) 存在一组不全为零的数k!,k2,.,ks使得k! ! k2 2 . ks s O ；(B) 不存在一组不全为零的数k!,k2,.,ks使得k! ! k2 2 . ks s O(C) 1, 2,., s 的秩等于 s ；(D) 1, 2,., s中任意一个向量都不能用其余向量线性
3、表示1aa .aa1a .a5 .设n阶矩阵(n3) A. . ?右矩阵A的秩为n 1 ,则a必为aaa .1()。(A)1 ；(B)1 .(C)1 ；(D)1 .1nn 1a100b,6.四阶行列式0a2b20的值等于()。0da30b400a4(A)av2a3a4bdlbA ；(B)a1a2a3a4bddbq ；(C) (a2 bb)(a3a4 bsb。);(D)玄彳 bzdXaia。 bb).7 设A为四阶矩阵且|A| b，则A的伴随矩阵A*的行列式为()。234(A) b;(B) b ;(C) b ;(D) b8 设A为n阶矩阵满足A2 3A In O , In为n阶单位矩阵，则A 1
4、()(A) In ；(B) A 3In ；(C) A 3In ；(D) 3A In9 .设A , B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是()。(A)A与B的秩相同；(B) A与B的特征值相同；(C) A与B的特征矩阵相同；(D) A与B的行列式相同；10 .设A为n阶矩阵，则A以0为特征值是A 0的()。(A)充分非必要条件；(B)必要非充分条件；(C)既非充分又非必要条件；(D)充分必要条件；2.填空题(每小题计算行列式100000400100431473分，共18分)04322584321369二次型 f (X1,X2, X3) 已知 1(0,0,1),(1,1,1)在这组基下的坐标为7
5、A 44X-|X2X2X34 .交基，则向量已知矩阵01 0X3X1对应的对称矩阵为。(乎，,0)是欧氏空间R3的一组标准正11的特征值为!3(二重),212,则xx3均为3维列向量，记矩阵A3 ,122433)。如果 |A| 1，则 |B|23121 (8 分)A120 , B10 , AX B,求 X10331量用该极大无关组线性表示。X1X2PX32五.(12分)讨论线性方程组 x1 px2X31解的情况，并在有无穷多解时PX1 xX31四.4(10 分)设向量组1 (1,1,2,3)T ,2(1, 1,1,1/ ,3(1,3,3,5)T ,(4, 2,5,6) T ,5( 3, 1,
6、5, 7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向求其解124六.(14分)设A 22 2 ,( 1 )、求出A的所有特征值和特征向量;421(2 )、求正交矩阵T，使得T 1AT为对角矩阵。七.( 8分)对任意的矩阵A,证明：(1) A At为对称矩阵，A At为反对称矩阵；(2) A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和线性代数A参考答案（A卷）、单项选择题（每小题3分，共30 分）12345678910BCDABDCCCD、填空题（每小题3分，共18分）132 012121、256 ；2、465 ;3、401.2；79841204、1八2,0 ；5、4 ;6、2。三.解：因为矩阵A的
7、行列式不为零,则A可逆，因此XA1B为了求A1B,可利用下列初等行变换的方法:2312112010120101201023121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103（6分）278所以 X A1B 144（8 分）103四解：对向量组1, 2, 3, 4, 5作如下的初等行变换可得:1114311143(1,2,3,4,5)1132102262213550113131567022621 11 43102120 11 3101131(5 分)00000000000000000000从而1,
8、2, 3, 4, 5的一个极大线性无关组为1, 2，故秩1,2,3,4,5 2（ 8 分）且 3212 ,4132 ,5212（ 10分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：11p211p21p121p110 p11p30p 11 p3p1110 1p12 p1 2p0202 p p 4 2p1p120p 11 p3（4分）00(2 p)(p1)42p当p 1 0,且（2 p）（p 1） 0时，即p 1,且p2时,系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.（5分）(2) 当p 1时,系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.(6 分)(3) 当p2时，此时方程组有无穷
9、多组解.方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为11221121211033211103310110111(8分)0000211223011130000故原方程组与下列方程组同解XiX310 ( 1, 1,0)T；X2 X31令X30,可得上述非齐次线性它对应的齐次线性方程组 X1X3 0的基础解系含有一个元X2 X30素，令X31,可得1(1,1,1)为该齐次线性方程组的一个解，它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为k0 0匕！,这里k0,k!为任意常数(12 分)(1) 由于 A 的特征多项式124I I A|222(3)2(6)421故A的特征值为,3 （二重特征值），分）当
10、!3时，由（j A）X424x0O，即：212X20424X30基础解系为32,1,2t故属于特征值6的所有特征向量为得基础解系为11,2,0T, 2 1,0,1T，故属于特征值13的所有特征向量为k11 k2 2, k1, k2不全为零的任意常数。-(6分）524X10当36时，由I A）X O，即：282X20得425X30k3 3,k3为非零的任意常数。(83单位化得：31,2,0T,4,51512 分)l12亦V515，3则1,2,3是A的一组单位正交的特征向量，令54 2525153T1,2 52 ,32 513520333则T曰 是1个正交矩阵，且T AT3。-（14 分）6七.证明：因为（Aat)Tat(AT)TA At ,因此Aat为对称矩阵。-(2 分)同理，因为（A At）tat(AT)Tat a(A
