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1、数的整除(2)质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：(1) 单位 1：只含有 1 这一个因数的自然数。(2) 质数(也称为素数)：只含有1 与它本身这两个因数的自然数。(质数有无穷多个， 不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2 是质数中唯一的偶数。)(3) 合数：含有三个或三个以上因数的自然数。(4) 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。(5) 因数个数定理：例如：1980=22X32X5X11所以：(T 表示因数个数)T (1980) = (1+2)X(1+2)X(1+1)X(1+1) =36(6) 因
2、数和的定理：例如： 1980=22X 32X 5X 11所以： S(1980) =(20+21+22)X(30+31+32)X(50+51)X(110+111)=7X 13X 6X 12=6552【典型例题】例 1 、两个质数的和是 49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49 是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数 中只有 2 是质数，于是另一个质数是 492=47，从而得到它们的积是 2X47=94。例 2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4 三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按 任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。解：由
3、于2+3+4=9是3 的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出 的两位数，末尾数字不能是2和 4，只能排3.所以用2、3、4 三个数字排出两位质数有23 和 43.取一张卡片排出的质数有 2 和 3.所以最后排出的质数有 2 、 3、 23、 43 这四个。例 3 、360 这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2X2X2X3X3X5=23X32X5，所以 360 有(3+l)X(2+l)X(l+l) =24 个因 数。因数的和是：(l+2+22+23)X(l+3+32)X(l+5) =1170例 4、筐里共有 96 个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；
4、要求每次拿出的个数同 样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？ 解：每次拿的个数都是96的因数(除96和1 之外)，这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2X2X2X2X2X3,除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、 6、 8、 12、 16、 24、 32、 48.有10种不同拿法。【精英班】例5、504乘一个自然数a,得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数o 504=23 X 32 X 7=22 X 32X(2 X 7),还 少(2X7),使得504Xa是个平方数，所以所求的a的最小值是2X7=1
5、4；这个平方数是504 X 14=7056o【竞赛班】例 6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明 理由。14， 33， 35， 30， 75， 39， 143， 169.解： 14=2X7， 33=3X11， 35=5X7， 30=2X3X5， 75=3X5X5， 39=3X13， 143=11X13，169=13X13.这八个数分解质因数后共有质因数18个(包括相同的)，其中：质因数2有两 个，质因数3有 4个，质因数5 有4个，质因数7有2个，质因数11 有2个，质因数13 有4个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里，因此可以分为：(1)(14， 75， 3
6、3， 169)和(30， 35， 39， 143) 或(2)(14， 75， 39， 143)和(30， 35， 33， 169) .【课后分层练习】A 组：入门级1、有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是多少？解： 6个奇质数的和是偶数， 60减去偶数仍是偶数，所以剩下的一个质数应当是唯一的 偶质数2，即这7个数中最小的是2.2、如果“O”是一个质数，“”是一个合数，下列第(4)项的值一定是一个质数。(1)0 + (2)0 口(3)OX口(4)OX三口3、210的因数有几个。这些因数的和是多少？解: 210=2X3X5X7,根据因数个数和及因数和定理有：210的因数有(1+1)
7、X (1+1)X(1+1)x(1+1) =16 个。这些因数的和是 l+2)X(l+3)X(l+5)X(l+7) =576.2、用105个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？解：105=3X5X7； 105共有（1+1）X（1+1）X（1+1） =8个因数，所以共有不同8三2=4 （种）拼法。3、有三个学生，他们的年龄一个比一个大3 岁，他们三人年龄的乘积是1620.这三个学生 的年龄分别是几岁。解：1620=2X2X3X3X3X3X5=9X12X15.他们的年龄分别是9岁、12岁、15岁。B组：进阶级1、哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168是
8、哪两个 两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？解：个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71；其中16811=157，16831=137， 16841=127，16861=107，都不是两位数，只有16871=97是两位数，而且是质数，所 以168=71+97.2 、甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的因 数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，试问谁一定获胜？给出一种获胜的方法。 解：甲必胜。甲先写6，这样除去6的因数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的 一个数，甲心中把（4，5），（7，9），（8，10）分组，
9、乙写任何一组中的某个数，甲写这一 组中的另一个数，则甲总可获胜。3. 将1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9这九个数分成三组，第一组数的连乘积与第三组数的连乘 积相等，第二组各数的和是15，问每组的数各是多少？解：2, 4=2X2, 6=2X3, 8=2X2X2，由于两组的积相等，显然是4和6在一组，1、2、5、 7只出现一次，其和正好为15.这样3， 4， 6， 8， 9分成两组，即为3， 4， 6和8， 9.因此三 组数是：（3， 4， 6）；（1， 2， 5， 7）；（8， 9）。4、1X2X3XX4O能否被90909整除？解：首先将90909分解质因数，得 90909=3
10、3X7X13X37。因为33 （=27），7，13，37都在140中，所以Ix2x3x能被90909整除。C组：挑战级1、学区举行团体操表演，有1430 名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在 100 至200之间，共有几种分法？解：按题意，每队人数X队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430 有多少个在100至200之间的因数。为此，先把1430分解质因数，得1430 = 2X5X 11X 13o 从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积 便是队数。2X5X11=110, 13；2X5X13=130, 11；1
11、1X13=143，2X5=10o所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每 队143人。2、试求不大于50的所有因数个数为6的自然数。解：因为这个数有六个因数，6=5+1= (2+1)X(1+1)，所以，当这个数只有一 个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是azXb。 因为这个数不大于50,所以对于a5,只有a=2，即25=32；对于a2Xb，经试算 得到,22X3=12，22X5=20，22 X 7=28，22X 11=44 , 32 X 2=18，32X5=45，52X2=50。 所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，503、 要使lX2X3X4X5XXn的积得尾部仅有10个连续的零，n最小值是()；最大值是()o解：这n个连续自然数分解质因数后至少必须共含有十个因数2和十个因数5当n=45时，其中5的倍数有9个，一个倍数是25的，已经含有十个因数5.这样最小值是45，最大值是49.【温馨提示】下节课我们将学习数的整除(3)最大公因数、最小公倍数，请作好预习。
