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1、数学思想方法在新教材概率学习中的应用优秀获奖科研论文 问题是数学的心脏,方法是数学的行为,思想是数学的灵魂.不管是数学概念的建立,数学规律的发现,还是数学问题的解决,乃至整个“数学大厦”的构建,核心问题在于数学思想方法的培养和建立.数学思想方法是数学的精髓,是新知识拓广的指导思想,是数学概念、定理、公式的认识基础,是解题策略的源泉.因此,在数学教学中,应把数学思想方法的训练贯穿于教学始终.本文着重探讨概率解题过程中数学思想方法的应用. 一、函数与方程思想 函数思想,是用运动和变化的观点分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,利用函数的图像和性质分析问题和解决问题,使问题获得解决
2、. 方程思想是通过引入未知量,构造方程或方程组,分析问题、转化问题,使问题得到解决. “已知”与“未知”是一个问题中紧紧相连的两个方面,它们之间的关系就是方程(或不等式)关系.因此,在数学中并不是一味地要由“条件”推“结论”,而应从整体上把握“已知”与“未知”间的关系,然后再从数与式两个方面进行突破,这样,方程思想就显得非常重要,而且也富有技巧. 在本章学习中,当求解某些事件的概率时,从问题的数量关系入手,根据概率的定义、公式构造方程,然后通过解方程(组)的方法使问题得以解决. 例1 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球.从甲,乙两袋中各任
3、取2个球.若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34,求乙袋中白球的个数n. 解:记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B,“取到的4个球只有1个红球”为事件B1,“取到的4个球全是白球”为事件B2.由题意,得P(B)=1-34=14;P(B1)=C12C12C24C2璶C2+2+C22C24C12C1璶C2+2=2n23(n+2)(n+1);P(B2)=C22C24C2璶C2+2=n(n-1)6(n+2)(n+1).所以P(B)=P(B1)+P(B2)=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)=14,化简,得7n2-11n-6=0,解得n=2,或n=-37(舍去),故
4、n=2. 二、分类与整合思想 在解某些数学问题时,我们常常会遇到这样一种情况,解到某一步之后,发现问题的发展是按照不同的方向进行的,被研究的问题包含了多种情况,就必须抓住主导问题发展方向的主要因素,在其变化范围内,根据问题的不同发展方向,划分为若干部分分别研究.这里集中体现的是由大化小、由整体化为部分、由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”,但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起,这种“合分合”的解决问题的过程,就是分类与整合的思想方法. 分类与整合思想,是数学中重要的数学思想之一.分类与整合思想的实质是将整体问题化为部分,然后再各个击破之.分类讨论的关键是逻辑划分标准恰当
5、准确,分类讨论时要做到不重不漏. 在本章学习中,求概率时,要考虑各类情况对应的结果数,这就要进行分类讨论. 例2 若连续掷两次骰子,第一次掷得的点数为m,第二次掷得的点数为n,求点P(m,n)落在圆x2+y2=16内的概率. 解:先后掷两次骰子,第一次骰子出现6种结果,对于每一种结果,第二次又有6种可能结果,于是一共有66=36种不同的结果. 因为点P(m,n)落在圆x2+y2=16内,所以m2+n2<16,考虑到m,n1,2,3,4,5,6, 进行分类讨论. 当m=1时,n=1,2,3共3种可能;当m=2时,n=1,2,3共3种可能;当m=3时,n=1,2共2种可能;当m4时,不符合m
6、2+n2<16. 故点P(m,n)落在圆内有8种情况(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2).故所求概率P=836=29. 三、转化与化归思想 转化与化归思想是数学问题处理中重要的思想方法之一.其目的与意义在于化繁为简、化难为易,其作用是将问题简单化,帮助我们抓住问题的实质,找到解决问题的突破口,从而简便地解决问题. 在解答某类问题时,由于该类问题所包含的情况相对来说较为繁杂,在解答时常常把相应问题等价转化,转化成与其等价的命题. 在本章的学习中,往往会遇到一些求“至多”“至少”等事件的概率,此时需要利用P(A)+P()=1,先求其对
7、立事件的概率,然后利用P(A)=1-P()相应求解;条 件概率的计算,常利用缩小样本空间的观点来等价转化,从而P(B|A)=n(AB)n(A),这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的样本空间;在求概率时有时要化成互斥事件的和事件,有时要化成对立事件,由实际问题转化为概率模型等;在几何概型中,将一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题. 例3 两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作,他们的对讲机接收范围为25公里,在下午300时莉莉正在基地正东距离基地30公里以内的某处向基地行驶.而霍伊在下午300时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶,试问他们能够通过对讲机交谈的概率有多
8、大? 解:设x和y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离,于是0x30,0y40,则他俩所有可能的距离的数据构成有序数对(x,y),这里x和y都在它们各自的限制范围内,且所有这样的有序数对构成的集合即为试验的全部结果,每一个点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置,他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生,因此构成该事件的点由满足不等式x2+y225的数对组成,此不等式等价于x2+y2625. 如图1,长和宽分别为40和30的矩形区域表示试验的所有结果构成的区域,以25为半径的14圆的区域表示试验成功的区域,而矩形面积为3040=1200(平方公里),而事件的面积为14252=62
9、54(平方公里),故所求事件的概率为P=62541200=25192. 四、数形结合思想 数形结合思想是重要的数学思想方法之一,数形结合的解题方法的特点是:具有直观性、灵活性、深刻性,并跨越各科的界线,有较强的综合性.“以数辅形”和“以形助数”,从而达到数与形的和谐统一,“形”为问题的骨架形态,给了我们以直观的猜测,而“数”则展示了问题的内部规律,给了我们以量的客观的结论,只有数形结合,才能使我们直观、迅速、准确地解决数学问题. 在本章学习中,可以利用集合的Venn图理解事件间的关系,利用表格、树状图等计算古典概型的基本事件数;利用数轴、坐标系解决几何概型中事件区域的长度、面积、体积;在解实际
10、应用题中借助图像或表格建立相应的函数模型等问题. 例4 在长度为10的线段内任取两点将线段分成三段,求这三段可以构成三角形的概率. 解:设构成三角形的事件为A,长度为10的线段被分成三段的长度分别为x、y、10-(x+y),则0 0 0<10-(x+y)<10,即 0 0 010-(x+y),即5 0 5 五、或然与必然的思想 人们发现事物或现象可以是确定的,也可以是模糊的,或随机的.为了了解随机现象的规律性,便产生了概率论这个数学分支.概率是研究随机现象的学科,随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,即重复同样的试验,所得到的结果未必相同,以至于在试验之前不能预料试验的结果
11、;二是频率的稳定性,即在大量重复试验中,每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近.了解一个随机现象就是知道这个随机现象中所有可能出现的结果,知道每个结果出现的概率.知道这两点就说明对这个随机现象研究清楚了.概率研究的是随机现象,研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”,然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题,这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想. 例5 为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼, 例如2000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库,经过适当时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾,试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数. 解:设水库中鱼的尾数为n,n是未知的,现在要估计n的值.假定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从库中任捕一尾,设事件A=带有记号的鱼,易知P(A)2000n 第二次从水库中捕出500尾,观察其中带有记号的鱼有40尾,即事件A发生的频数m=40,由概率的统计定义可知P(A)40500 . 由两式,得2000n=40500,解得n=25000,所以,估计水库中约有鱼25000尾. 注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”