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1、求数列通项公式的 11 种方法方法总述：一利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比 数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自
2、然数集的一个函数。、累加法1适用于：a = a + f（n）这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。n+1n2.若 a - a = f (n) (n 2),n +1na -a = f (1)21a -a = f (2)32a - a = f (n) +1n *两边分别相加得an+i - ai仝f （n）例1已知数列a 满足a = a + 2n +1, a = 1，求数列a 的通项公式。 nn+1n1n解：由 a = a + 2n +1 得 a a = 2n +1 贝 Un +1nn +1na = ( a a ) + (a a ) + ( a a ) + ( a a ) + an nn1
3、n 1n 232211=2( n 1) +1+2( n 2) +1 + + (2 x 2 +1) + (2 x 1 +1) +1=2(n 1) + (n 2) + + 2 +1 + (n 1)+1=+ (n -1) +12= (n1)(n+1)+1= n2所以数列a 的通项公式为a = n2 onn例2已知数列a 满足a = a + 2x3n +1, a = 3，求数列a 的通项公式。nn +1n1n解法一：由 a = a + 2 x 3n +1 得 a a = 2 x 3n +1 贝 yn +1nn+1na = ( a a ) + ( a a ) + + (a a ) + (a a ) +
4、a n n n1n1 n 23 22 11=(2 x 3n-1 +1) + (2 x 3n-2 +1)土.+ (2 x 32 +1) + (2 x 31 +1) + 3= 2(3 n 1 + 3n 2 + 32 + 31) + (n 1) + 3=23(1 I + (n 1) + 31 3= 3n 3+ n 1+3= 3n + n 1所以 a = 3n + n 1.na a 21解法二：a = 3a + 2x3n +1 两边除以3n+1,得 n +1 = n + + 丁 n+1n3n+1 3n 3 3n+1a a 21贝贝 n+1 n =+ ，故3n+13n 33n+1an =a3h)+ +a
5、aaan1) + (n1 ) + (nsaa3 n 23 n 23 n 3n1n1(21) (21 ) (21 )(2 T、33 3/3 3n-13 3n-/3 323沁+ (丄+丄+丄+丄+-+丄)+133n 3n 3n-1 3n-2322(n -1) (1 3n _1)a因此厂+1332 2 x 3n2 11则 a x n x 3n + x 3n .3 22练习 1. 已知数列an 的首项为1，a - + 2n(n N*)写出数列b 的通项公式.n +1n答案.n 2 一 n + 1练习 2.已知 数列J 满足 1 3 ,n1n(n 1)(n 2)，求此数 列的通项 公式 .答案：裂项求和
6、评注：已知 a1a a f (n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、n+1指数函数、分式函数，求通项n. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列an 中, an 0an，求数列3 的通项公式.S (a +) 解:由已知 n2 nan-2( sSn 1 ,化简有S2 S2nn 1,由类型(1)有S2 S22 3n1又S1S 2 n(n+Da 0a1得a1所以n 2,又n、2n(n +1) 一
7、 丫 2n(n -1)2此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1适用于：a = f (n) a 这是广义的等比数列n+1n累乘法是最基本的二个方法之二。* = f (n) an2.若齢二 f (n)，则 a = f(1)，3 = f (2), aa an12两边分别相乘得，分=a1 Nf (k)1k=1例4已知数列a 满足ann +1=2(n + 1)5n x a，n犷3，求数列耳的通项公式。解：因为a = 2(n + 1)5n x a， a = 3，所以 a 丰 0，n+1n 1naaaaa =nn-13丄an aaaa 1n-1n-22 1则 n +1 = 2(n +1)5“，故 an=
8、2( n -1 + 1)5n-12( n - 2 + 1)5n - 22(2 +1) x 522(1 +1) x 51 x 3=2n-1 n( n 1) 3 x 2 x 5(n-1)+(n2)七+ 2+1 x 3n (n -1).=3 x 2 n-1 x 5 2 x n!所以数列a 的通项公式为ann_n (n-1)=3x 2n-1 x5 x n!. L (,， t,(n + 1L2 一na2 + a a = 0例5.设n是首项为1的正项数列，且n+1nn+1 n ( n =1， 2， 3，),则它的通项公式是an =解：已知等式可化为：(an+1+an+ 1) a- na L 0n +1n0
9、(neN*a) (n+1) n+1- nanann+1 =a n +1即 n-n工2时,anan-1a二-aa 1 =1n-2n -1aaa =n n-1 n a an -1n - 2评注：本题是关于an和S+l的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到 an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an .练习已知an+1 =nan +n -1，a1 -1,求数列an的通项公式.-1.答案：评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an+1二nan + - h转化为an+1 + 1二n(an + D若令bn二n + j则问题进一步转化为+1二n形式，进而应用累乘法求 出数列的通项公
10、式.三、待定系数法 适用于a二qa + f (n)n +1n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。a = ca + d,(c 丰 0 a = a、刑 1形如 n+1n,其中 1)型(1) 若C=1时，数列n 为等差数列；a(2) 若d=0时，数列 n 为等比数列；(3) 若C丰1Sd丰0时，数列作为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 来求.待定系数法：设an+1 + C(an +入),得an+1 = Can + (C - 1)X，与题设an+1 n + 比较系数得d尢,(c 丰 0)a +(c - 1)X - d，所以c 1所
11、以有：ndd=c(a+)c - 1n -1c - 1以c为公比的等比数列,da + (a +n c - 11所以d ) - Cn-1C 即：a = (a +厶)-cn-in 1 c -1aa +_ 因此数列I C -1丿构成以1 c -1为首项,dda + c (a +)+ dn +1c - 1n c - 1规律：将递推关系 n +1 + d a + n c - 1等比数列c -1 从而求得通项公式十d化为，构造成公比为c的dda + cn-1( a +)n+11-c 1 c -1a ca + d逐项相减法(阶差法)： 有时我们从递推关系 n+1n 中把 n 换成 n-1 有n n-1，两式相
12、减有Qn+1 an C(nn-1 )从而化为公比为C的等比数列n+1 一 n ,a - a cn(a - a )进而求得通项公式.n+1n21 ，再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列a 中,na 1,a 2a + 1(n 2)，求数列a 的通项公式。1 nn -1n解法一：an 2an-1+ 1(n 2),a +1 2(a+1)nn -1又 a1 +1 = 2,.+ 是首项为2,公比为2的等比数列a +1 2n a 2n 1 n ,即 na 2a +1(n 2),解法二： nn-1a 2a +1n +1n两式相减得a 1 - a = 2(a 一a 1)(n 2)，故数列a 1 -a 是首项为2,公比为2n+1nnn-1n+1n的等比数列，再用累加法的a练习.已知数列an中，1=2, a =1 an +12 n1+ ,2 求通项 a n。a答案：-（2）n-1 + 12形如：a = p - a + qn n+1（其中q是常数，且n0,1）若 p=1 时，即：a a + qnn+1n，累加即可.若p丰1时，即:a p - a + qnn +1n ，p 求通项方法有以下三种方向： i. 两边同除以n+1.目的是把所求数列构造成等差数列即求通项.aan+1= np n +1q n+丄（匕）nbp q ,令 nanpnb b
